Η Ευκλείδεια διαίρεση και μια σημαντική παρατήρηση

 Η ισότητα αυτή λέει ότι για οποιουσδήποτε δύο ακέραιους αριθμούς α (διαιρετέος) και β (διαιρέτης), με $\beta \delta \iota ά\phi o\rho o\alpha \; \tau o\upsilon 0$, υπάρχουν μοναδικοί ακέραιοι αριθμοί π (πηλίκο) και v (υπόλοιπο) τέτοιοι ώστε:

$$\alpha =\beta \cdot \pi +v$$

όπου το υπόλοιπο v ικανοποιεί την ανισότητα:

$$0\le v<|\beta |$$

Ας το δούμε με ένα παράδειγμα:

Έστω ότι θέλουμε να διαιρέσουμε τον αριθμό $\alpha =17$ με τον αριθμό $\beta =5$.

Σύμφωνα με την Ευκλείδεια διαίρεση, ψάχνουμε για το πηλίκο (π) και το υπόλοιπο (v) έτσι ώστε:

$$17=5\cdot \pi +v$$

και $0\le v<|5|$, δηλαδή $0\le v<5$.

Κάνοντας την πράξη της διαίρεσης, βλέπουμε ότι το 5 χωράει 3 φορές στο 17 ($5\times 3=15$).

Άρα, το πηλίκο είναι $\pi =3$.

Το υπόλοιπο είναι η διαφορά μεταξύ του διαιρετέου και του γινομένου του διαιρέτη με το πηλίκο:

$$v=17-(5\cdot 3)=17-15=2$$

Παρατηρούμε ότι το υπόλοιπο $v=2$ ικανοποιεί την ανισότητα $0\le 2<5$.

Επομένως, η ισότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης για αυτό το παράδειγμα είναι:

$$17=5\cdot 3+2$$

Συνοψίζοντας:

• α (διαιρετέος) = 17
• β (διαιρέτης) = 5
• π (πηλίκο) = 3
• v (υπόλοιπο) = 2

Η ισότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης μας εξασφαλίζει ότι κάθε φορά που διαιρούμε δύο ακέραιους αριθμούς, θα έχουμε ένα μοναδικό πηλίκο και ένα μοναδικό υπόλοιπο που είναι πάντα μη αρνητικό και μικρότερο από την απόλυτη τιμή του διαιρέτη. Αυτή η αρχή είναι θεμελιώδης για πολλές έννοιες στα μαθηματικά, όπως η εύρεση του μέγιστου κοινού διαιρέτη (ΜΚΔ) με τον Ευκλείδειο αλγόριθμο

Ακολουθούν  2 ασκήσεις για εμπέδωση :

1η Άσκηση

Πολύ ωραία άσκηση για να ελέγξουμε την κατανόηση της Ευκλείδειας διαίρεσης!

Οδηγίες: Για κάθε ισότητα που δίνεται, αιτιολόγησε αν αποτελεί σωστή Ευκλείδεια διαίρεση. Θυμήσου ότι για $\alpha =\beta \cdot \pi +v$ πρέπει να ισχύει $0\le v<|\beta |$.

Ισότητες:

1. $38=5\cdot 7+3$
2. $25=3\cdot 9-2$
3. $16=(-3)\cdot (-5)+1$
4. $49=6\cdot 8+1$
5. $12=4\cdot 2+4$
6. $20=(-4)\cdot (-6)-4$
7. $31=7\cdot 4+3$
8. $10=(-2)\cdot (-4)+2$
9. $55=10\cdot 5+5$
10. $7=8\cdot 0+7$

2η Άσκηση