Παίξτε με τους αριθμούς – Μέρος πρώτο

 

Φωτογραφία από τον Julius Silver στο Pexels.com

Μην το διαβάζετε μόνο. παλεψε το! Κάντε τις δικές σας ερωτήσεις, αναζητήστε τα δικά σας παραδείγματα, ανακαλύψτε τις δικές σας αποδείξεις. Είναι απαραίτητη η υπόθεση; Ισχύει το αντίστροφο; Τι συμβαίνει στην κλασική ειδική περίπτωση; Τι γίνεται με τις εκφυλισμένες περιπτώσεις; Πού η απόδειξη χρησιμοποιεί την υπόθεση

;
Πωλ Χαλμός

Τετράγωνος αριθμός

Οι τετραγωνικοί αριθμοί (ονομάζονται επίσης τέλεια τετράγωνα ) είναι ακέραιοι που είναι το τετράγωνο ενός ακέραιου αριθμού. Με άλλα λόγια, είναι το γινόμενο κάποιου ακέραιου με τον εαυτό του.

Για παράδειγμα, το 16 είναι ένας τετράγωνος αριθμός αφού ισούται με 4 2 και μπορεί να γραφτεί ως 4 × 4. Το 121 είναι ένας άλλος τετράγωνος αριθμός αφού ισούται με 11 2 και μπορεί να γραφτεί ως 11 × 11.

Αν θεωρήσουμε τετράγωνο μήκους πλευράς n , τότε το εμβαδόν του τετραγώνου είναι n 2 . Άρα ο αριθμός  n  είναι τετράγωνο αν και μόνο αν μπορούμε να τακτοποιήσουμε  n  σημεία σε ένα τετράγωνο. Λίγα παραδείγματα δίνονται παρακάτω.

Ένας τετράγωνος αριθμός μπορεί να τελειώνει μόνο με τα ψηφία 0, 1, 4, 5, 6 ή 9. Τα τετράγωνα των ζυγών αριθμών είναι άρτια και τα τετράγωνα των περιττών αριθμών είναι πάντα περιττά.

Τέλειος αριθμός

Τέλειος αριθμός , ένας θετικός ακέραιος που ισούται με το άθροισμα των κατάλληλων διαιρετών του, εξαιρουμένου του ίδιου του αριθμού.

Ο μικρότερος τέλειος αριθμός είναι το 6 επειδή το 6 έχει διαιρέτες 1, 2 και 3 (εξαιρουμένου του εαυτού του) και 1 + 2 + 3 = 6.

Ομοίως, το 28 είναι τέλειος αριθμός αφού 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Το 496 είναι ένας άλλος τέλειος αριθμός αφού 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.

Τριγωνικός αριθμός

Ο Τριγωνικός Αριθμός μετράει αντικείμενα διατεταγμένα σε ισόπλευρο τρίγωνο. 

Ο  ν ο τριγωνικός αριθμός είναι ο αριθμός των κουκκίδων στην τριγωνική διάταξη με  n  κουκκίδες σε μια πλευρά και είναι ίσος με το άθροισμα των  n  φυσικών αριθμών από το 1 έως  το n . Η ακολουθία των τριγωνικών αριθμών είναι 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, . . . , και μερικά από αυτά φαίνονται παρακάτω (μέσω διαγραμμάτων).

Παλινδρομικός αριθμός

Παλινδρομικός αριθμός είναι ένας αριθμός που παραμένει ίδιος όταν τα ψηφία του αντιστρέφονται.

Η γενική μορφή ενός παλινδρομικού αριθμού είναι 1 a 2 a 3 ... a n -2 a n -1 a n και κάθε τέτοιος αριθμός έχει ανακλαστική συμμετρία σε έναν κατακόρυφο άξονα .

Ένα παράδειγμα είναι το 121. Λίγα περισσότερα παραδείγματα είναι 77377, 12321, 555555, 123404321. Λίγοι παλινδρομικοί πρώτοι είναι 101, 131, 151 κ.λπ. και λίγα παλινδρομικά τετράγωνα είναι 484, 10201, 123

Αριθμός Smith

Ο αριθμός Smith είναι ένας σύνθετος αριθμός, του οποίου το άθροισμα των ψηφίων είναι ίσο με το άθροισμα των ψηφίων των πρώτων παραγόντων του.

4 = 2 × 2 είναι ο μικρότερος αριθμός Smith. Το άθροισμα των ψηφίων του 4 είναι 4 και το άθροισμα των ψηφίων των πρώτων παραγόντων του είναι 2 + 2 = 4. Ένα άλλο παράδειγμα είναι 666 = 2 x 3 x 3 x 37. Τώρα 6 + 6 + 6 = 18 και 2 + 3 + 3 + (3 + 7) = 15, αποδεικνύοντας ότι το 666 είναι αριθμός Smith.

Λίγα ακόμη παραδείγματα είναι 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 6036, 9942, 9975.

Αυτομορφικός αριθμός

Ο αυτομορφικός αριθμός (μερικές φορές αναφέρεται ως  κυκλικός αριθμός ) είναι ένας φυσικός αριθμός, το τετράγωνο του οποίου τελειώνει στα ίδια ψηφία με τον ίδιο τον αριθμό. Με άλλα λόγια, ο αριθμός εμφανίζεται στο τέλος του τετραγώνου του.

Οι αριθμοί 5, 25, 76, 376 είναι αυτόμορφοι γιατί

• 5 2 = 2( 5 )
• 25 2 = 6 ( 25 )
• 76 2 = 57 ( 76 )
• 376 2 = 141 ( 376 )

Λίγα ακόμη παραδείγματα αυτομορφικών αριθμών είναι οι 0, 1, 6, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625.

Τριμορφικός αριθμός

Ο Τριμορφικός Αριθμός είναι ένας φυσικός αριθμός του οποίου ο κύβος τελειώνει στα ίδια ψηφία με τον ίδιο τον αριθμό. Με άλλα λόγια, ο αριθμός εμφανίζεται στο τέλος του κύβου του.

Σημειώστε ότι όλοι οι αυτόμορφοι αριθμοί είναι τριμορφικοί. Οι αριθμοί 4, 25, 51, 249 είναι τριμορφικοί γιατί

4 3 = 6( 4 )

25 3 = 156 ( 25 )

51 3 = 1326 ( 51 )

249 3 = 15438 ( 249 )

Λίγοι ακόμη τριμορφικοί αριθμοί είναι 0, 1, 5, 6, 9, 24, 49, 75, 76, 99, 125, 251, 375, 376.

Ναρκισσιστικός αριθμός

Ο ναρκισσιστικός αριθμός (γνωστός και ως αριθμός Armstrong ) είναι ένας ν -ψήφιος αριθμός που είναι το άθροισμα των ν δυνάμεων των ψηφίων του.

Είναι προφανές από τον ορισμό ότι όλοι οι μονοψήφιοι αριθμοί 1, 2, 3, . . . , 9 είναι ναρκισσιστές. Οι αριθμοί

153 = 1 3 + 5 3 + 3 3

370 = 3 3 + 7 3 + 0 3

1634 = 1 3 + 6 3 + 3 3 + 4 3

είναι επίσης ναρκισσιστές. Λίγα ακόμη παραδείγματα ναρκισσιστικών αριθμών είναι οι 371, 407, 8208, 9474, 54748. 

Αριθμός Κάλεν

Ο αριθμός Cullen είναι ένας αριθμός που μπορεί να εκφραστεί με τη μορφή 2 n x n + 1.

Λίγα παραδείγματα αριθμών Cullen είναι

• 3 = 2 1 x 1 + 1
• 25 = 2 3 x 3 + 1
• 65 = 2 4 x 4 + 1

Λίγα περισσότερα παραδείγματα είναι 9, 161, 385. 

Αριθμός Munchausen

Ο αριθμός του Μουνχάουζεν είναι ένας φυσικός αριθμός που ισούται με το άθροισμα των ψηφίων του που το καθένα ανυψώνεται στη δύναμη του εαυτού του. Λίγα παραδείγματα είναι

1 = 1 1

3435 = 3 3 + 4 4 + 3 3 + 5 5

παραγοντικός

Παραγοντικός είναι ένας ακέραιος που ισούται με το άθροισμα των παραγοντικών των ψηφίων του.

Υπάρχουν ακριβώς τέσσερις τέτοιοι αριθμοί. Αυτοί είναι

1! = 1

2! = 2

1! + 4! + 5! = 145

4! + 0! + 5! + 8! + 5! = 40585 .