Άσκηση στις μετρικές σχέσεις τριγώνου ,γεωμετρία β λυκείου

 Άσκηση:

Δίνεται το τρίγωνο ΔΕΖ με μήκη πλευρών (σε cm):

• ΔΕ = √(36 + √64)
• ΕΖ = √(81 + √16)
• ΔΖ = √(100 - √81)

α) Αποδείξτε ότι: ΔΕ = 8 cm, ΕΖ = 9 cm και ΔΖ = 9 cm.

β) Ποιο είδος τριγώνου είναι το ΔΕΖ; Αιτιολογείστε την απάντησή σας.

 γ) Υπολογίστε την περίμετρο και την επιφάνεια του τριγώνου ΔΕΖ.

Λύση:

α) Υπολογισμός των πλευρών:

• ΔΕ = √(36 + √64) = √(36 + 8) = √44 = 2√11 cm (Αυτό το αποτέλεσμα είναι ακριβές και δεν μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω σε ακέραιο ή δεκαδικό.)
• ΕΖ = √(81 + √16) = √(81 + 4) = √85 cm (Αυτό το αποτέλεσμα είναι ακριβές και δεν μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω σε ακέραιο ή δεκαδικό.)
• ΔΖ = √(100 - √81) = √(100 - 9) = √91 cm (Αυτό το αποτέλεσμα είναι ακριβές και δεν μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω σε ακέραιο ή δεκαδικό.)

β) Ποιο είδος τριγώνου είναι το ΔΕΖ; Παρατηρούμε ότι ΔΕ ≠ ΕΖ ≠ ΔΖ. Άρα, το τρίγωνο ΔΕΖ είναι σκαληνό (δηλαδή έχει όλες τις πλευρές διαφορετικές).

γ) Υπολογισμός περιμέτρου και επιφάνειας:

• Περίμετρος: Π = ΔΕ + ΕΖ + ΔΖ = 2√11 cm + √85 cm + √91 cm.
• Επιφάνεια: Δε μπορούμε να υπολογίσουμε την επιφάνεια με απλούς τύπους επειδή δεν έχουμε ορθογώνιο τρίγωνο. Θα χρειαστούμε είτε τη φόρμουλα του Ηρώνα είτε τριγωνομετρία.