Λυμένη άσκηση στα ολοκληρώματα μαθηματικά γ λυκείου προσανατολισμού

Θέλουμε να υπολογίσουμε 

$$I = \int (x^2 + 3x - 2)e^x \,dx$$

Βήμα 1: Χρήση της μεθόδου ολοκλήρωσης κατά μέρη

Η μέθοδος ολοκλήρωσης κατά μέρη βασίζεται στ

$$\int u \, dv = u v - \int v \, du$$

Επομένως 

• $u = x^2 + 3x - 2$ → Παράγωγος:$du = (2x + 3)dx$
• $dv = e^x dx$ →$v = e^x$

Βήμα 2: Εφαρμογή του τύπου

$$I = (x^2 + 3x - 2)e^x - \int (2x + 3)e^x \,dx$$ Το νέο ολοκλήρωμα είναι:$$J = \int (2x + 3)e^x \,dx$$

Βήμα 3: Ολοκλήρωση του $J$ με ολοκλήρωση κατά μέρη

Επιλέγουμε:

• $u = 2x + 3$ → Παράγωγος: $du = 2dx$
• $dv = e^x dx$ → Αντιπαράγωγος: $v = e^x$

Εφαρμόζουμε τον τύπο:

$$J = (2x + 3)e^x - \int 2e^x dx$$

Το νέο ολοκλήρωμα είναι απλό:

$$\int 2e^x dx = 2e^x$$

Άρα:

$$J = (2x + 3)e^x - 2e^x$$

Βήμα 4: Τελικό αποτέλεσμα

Αντικαθιστούμε το $J$ στην αρχική εξίσωση:

$$I = (x^2 + 3x - 2)e^x - [(2x + 3)e^x - 2e^x]$$

Απλοποιούμε:

$$I = (x^2 + 3x - 2)e^x - (2x + 3)e^x + 2e^x$$

Τελική απάντηση:

$$I=(x^2+x-3)e^x+C$$

όπου $C$ είναι η σταθερά ολοκλήρωσης.

Ακολουθήστε  μας  στο   FACEBOOK   και στο   INSTAGRAM    για περισσότερες αναρτήσεις .