Μαθηματικοί έλυσαν πρόβλημα 40 ετών σε σχεδόν τακτικά ελλειπτικές πολλαπλότητες

 Ένα μαθηματικό πρόβλημα που επιλύθηκε από τη Susanna Heikkilä σχετίζεται με την ταξινόμηση των οιονεί κανονικά ελλειπτικών 4-πολλαπλών, που ρωτά ποια τετραδιάστατα σχήματα μπορούν να ληφθούν παραμορφώνοντας την τετραδιάστατη ευκλείδεια γεωμετρία. Το άρθρο των Heikkilä και Pekka Pankka έχει δημοσιευτεί στο περιοδικό Annals of Mathematics.

Το 1981, ο Ρωσο-Γάλλος μαθηματικός Misha Gromov, νικητής του βραβείου Abel, ρώτησε εάν η ύπαρξη μιας οιονεί τακτικής χαρτογράφησης είναι εγγυημένη εάν ο στόχος είναι απλά συνδεδεμένος, πράγμα που σημαίνει ότι η θεμελιώδης ομάδα του είναι ασήμαντη και δεν αποτελεί εμπόδιο. Το ερώτημα παρέμεινε ανοιχτό μέχρι το 2019 όταν ο Prywes έδωσε ένα τετραδιάστατο αντί-παράδειγμα. «Το κύριο αποτέλεσμα της διδακτορικής μου διατριβής συμπληρώνει την απάντηση στην ερώτηση του Γκρόμοφ, καθώς το αποτέλεσμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ταξινόμηση κλειστών απλά συνδεδεμένων τετραδιάστατων πολλαπλών για τις οποίες υπάρχει μια οιονεί τακτική χαρτογράφηση από έναν Ευκλείδειο χώρο», λέει η μεταδιδακτορική ερευνήτρια Susanna Heikkilä. Ο Heikkilä, του οποίου τα χόμπι περιλαμβάνουν το πλέξιμο, απεικονίζει επίσης το θέμα μέσω του πλεκτού υφάσματος. Το πλέξιμο ολοκληρώθηκε για τη δημόσια εξέταση, όπου ήθελε να περιγράψει την έρευνά της με λαϊκούς όρους. Η χειροτεχνία απεικονίζει τη χαρτογράφηση από το επίπεδο σε μια σφαίρα, γνωστή ως χάρτης του Αλέξανδρου. Ο Heikkilä έπλεξε μπαλώματα διαφορετικών χρωμάτων και τα συναρμολόγησε σε μοτίβο σκακιέρας με τετράγωνα διαφορετικών χρωμάτων στις γωνίες. Χρειαζόταν επίσης μια μπάλα με διαφορετικά χρώματα πάνω και κάτω ημισφαίρια. Όταν το πλέγμα σκακιού είναι κυρτό γύρω από τη μπάλα με τις χρωματιστές γωνίες συνδεδεμένες μεταξύ τους, αφήνεται ένα κενό μεταξύ των τετραγώνων. Αυτό συνοψίζει την ιδέα των οιονεί κανονικών χαρτογραφήσεων: τα κενά μπορούν να κλείσουν τεντώνοντας το ύφασμα. Ο δρόμος για να γίνεις μαθηματικός Η καριέρα στα μαθηματικά δεν ήταν ακόμη ξεκάθαρη στο μυαλό του Heikkilä στο γενικό γυμνάσιο. Ωστόσο, η δασκάλα της, επίσης καθηγήτρια μαθηματικών, αναγνώρισε το ταλέντο της και της πρότεινε να συνεχίσει να μελετά το θέμα, έτσι ο Heikkilä κατέληξε στην πανεπιστημιούπολη Kumpula στο Πανεπιστήμιο του Ελσίνκι. Μόλις στο δεύτερο έτος σπουδών της, σε ένα μάθημα τοπολογίας που έδωσε ο καθηγητής Pankka, η Heikkilä άρχισε να ενδιαφέρεται πραγματικά για τα μαθηματικά. Έτσι ξεκίνησαν τα χρόνια συνεργασίας που κορυφώθηκαν στο ολοκληρωμένο άρθρο. Στο έργο τους, οι μαθηματικοί επικεντρώνονται στη σκέψη. Ο προτιμώμενος τρόπος εργασίας της Susanna Heikkilä είναι να εκκολάπτει ιδέες με στυλό και χαρτί. Όταν εργάζεστε με άλλους, ένας μαυροπίνακας είναι απαραίτητος. Credit: Riitta-Leena Inki Ήταν ξεκάθαρο ήδη στο μεταπτυχιακό ότι η Heikkilä σκόπευε να συνεχίσει μεταπτυχιακές σπουδές, γι' αυτό και έβαλε την καρδιά της να γράψει τη διατριβή της υπό την επίβλεψη του Pankka. Η προσπάθεια απέδωσε, καθώς η διατριβή αυτή καθαυτή ήταν σχεδόν έτοιμη για χρήση ως πρώτο άρθρο για διδακτορική διατριβή. Η μεταπτυχιακή διατριβή του Heikkilä, με τίτλο "Περιορισμένη συνομολογία των quasiregularly eliptic manifolds" κέρδισε το βραβείο μεταπτυχιακής διατριβής που απονέμεται κάθε χρόνο από την Academic Association for Mathematics and Natural Sciences—MAL και το συνδικάτο Academic Engineers and Architects in Finland TEK. Το βραβείο εφιστά την προσοχή στη μελέτη των μαθηματικών, της φυσικής και της επιστήμης των υπολογιστών, τονίζοντας τη σημασία αυτών των επιστημών στη φινλανδική κοινωνία. "Το να έχω έναν υποστηρικτικό επόπτη και συναδέλφους έχει κάνει την έρευνα να έχει νόημα. Βρήκα επίσης τον σύζυγό μου στον ίδιο τομέα, αν και δεν μιλάμε μαθηματικά στο σπίτι το βράδυ", λέει ο Heikkilä. Στις αρχές του 2025, η Heikkilä άρχισε να εργάζεται ως μεταδιδακτορική ερευνήτρια στο Πανεπιστήμιο του Jyväskylä και υποβάλλει αίτηση για περαιτέρω χρηματοδότηση, καθώς επιθυμεί να συνεχίσει να μελετά τη θεωρία των οιονεί κανονικών χαρτογραφήσεων και καμπυλών.

Οιονεί κανονικά ελλειπτικά προβλήματα Η οιονείσυμμορφη γεωμετρία μελετά την επίδραση της απειροελάχιστης παραμόρφωσης στο σχήμα των αντικειμένων. Οι οιονεί κανονικές αντιστοιχίσεις διερευνούν ερωτήσεις που καλύπτουν την οιονείσυμμορφή γεωμετρία. Ένα κλασικό παράδειγμα τέτοιων ερωτήσεων είναι το ακόλουθο αποτέλεσμα που βασίζεται στο θεώρημα της ομοιομορφίας: οι μόνες επιφάνειες Riemann που επιδέχονται μια μη τετριμμένη ολομορφική χαρτογράφηση από ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο είναι μια δισδιάστατη σφαίρα και ένας δισδιάστατος δακτύλιος. Συγκεκριμένα, δεν υπάρχουν τέτοιες χαρτογραφήσεις για τις επιφάνειες του ανώτερου γένους. Αυτό το θεώρημα ακολουθεί την εργασία των Poincaré και Radón στις επιφάνειες Riemann από τις αρχές του 1900. Σήμερα, αυτό το αποτέλεσμα είναι ένα από τα βασικά σε εγχειρίδια για επιφάνειες Riemann. Αυτό που είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρον είναι ότι αυτό το αποτέλεσμα των δισδιάστατων σύμμορφων χαρτογραφήσεων δεν αλλάζει ακόμα κι αν αυτό που εξετάζεται είναι οιονεί κανονικές αντιστοιχίσεις αντί για σύμμορφες. Σε υψηλότερες διαστάσεις, η σύμμορφη και η οιονείσυμμορφή γεωμετρία διαφοροποιούνται ριζικά. Ο συνδυασμός των αποτελεσμάτων του Martio, του Rickman και του Väisälä από το 1971 με το θεώρημα του Zorich από το 1968 δείχνει ότι οι μόνες απλές συνδεδεμένες πολλαπλές Riemannian σε υψηλότερες διαστάσεις, για τις οποίες υπάρχει μια σύμμορφη χαρτογράφηση από έναν Ευκλείδειο χώρο, είναι ο ίδιος ο Ευκλείδειος χώρος και μια σφαίρα ίσης διάστασης. Αντίθετα, οι οιονεί κανονικές αντιστοιχίσεις μπορούν να βρεθούν από έναν Ευκλείδειο χώρο σε πολλούς διαφορετικούς χώρους. Τέτοιες πολλαπλές ονομάζονται «οιονεί κανονικά ελλειπτικές». Το 1981, ο Γκρόμοφ ρώτησε αν υπάρχουν κλειστές, απλά συνδεδεμένες πολλαπλές υψηλότερων διαστάσεων που δεν είναι σχεδόν τακτικά ελλειπτικές. Ουσιαστικά, ο Γκρόμοφ ρώτησε εάν υπάρχει ομολογική παρεμπόδιση σε οιονεί κανονικά ελλειπτικές πολλαπλότητες. Η πρώτη μερική απάντηση σε αυτό το ερώτημα δόθηκε από τους Bonk και Heinonen, χρησιμοποιώντας ένα επιχείρημα συμπαγότητας που βασίζεται στην συνομολογία de Rham των διαφορικών μορφών. Ο Eden Prywes απάντησε οριστικά στην ερώτηση του Gromov το 2019, δείχνοντας ότι η συνομολογία k-th de Rham μιας κλειστής οιονεί κανονικής ελλειπτικής n-πολλαπλής είναι το πολύ η k-th de Rham συνομολογία του n-torus. Αυτό το αποτέλεσμα οδηγεί στο συμπέρασμα ότι οι κλειστές πολλαπλότητες με μεγάλη συνομολογία de Rham δεν μπορούν να είναι σχεδόν κανονικά ελλειπτικές. "Το αποτέλεσμα που αποδεικνύουμε με τον Heikkilä παρέχει μια αλγεβρική απάντηση στην ερώτηση του Γκρόμοφ. Ευριστικά, η απάντηση είναι η εξής: για να είναι μια κλειστή πολλαπλότητα οιονεί ελλειπτική, οι τομές των υποπολλαπλών της (σε ομολογικούς όρους) πρέπει να πραγματοποιούνται ταυτόχρονα στην εξωτερική άλγεβρα ενός χώρου. μονομορφισμός από τη συνομολογία de Rham της κλειστής n-πολλαπλής στην εξωτερική άλγεβρα του ν-διάστατου Ευκλείδειου χώρου», λέει ο καθηγητής Pankka. Αυτό το αλγεβρικό αποτέλεσμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδείξει ότι υπάρχουν κλειστές πολλαπλότητες με μικρή συνομολογία που δεν είναι σχεδόν τακτικά ελλειπτικές. Ο συνδυασμός αυτού του αποτελέσματος με την κατασκευή αναπαραστάσεων διακλαδισμένης κάλυψης από τους Piergallini και Zuddas καθώς και την ταξινόμηση των κλειστών 4 πολλαπλών από τους Donaldson και Freedman παρέχει μια ταξινόμηση για κλειστές απλά συνδεδεμένες σχεδόν τακτικά ελλειπτικές 4 πολλαπλότητες: είναι ακριβώς οι πολλαπλότητες που προκύπτουν από έως και τρία συνδεδεμένα αθροίσματα των 2 ή τριών συνδεδεμένων αθροισμάτων του γινομένου από δύο έως τρία δισδιάστατοι προβολικοί χώροι με οποιονδήποτε προσανατολισμό. Αυτό ολοκληρώνει την έρευνα που ξεκίνησε ο Seppo Rickman σε κλειστές απλά συνδεδεμένες σχεδόν κανονικά ελλειπτικές 4 πολλαπλές.

ΠΗΓΗ :https://phys.org/