Συνδυαστική Λογική & Αριθμοπαίγνια

 🧠 **Συνδυαστική Λογική & Αριθμοπαίγνια**

**🎯 Στόχος:** Ανάπτυξη στρατηγικής σκέψης μέσα από ερωτήματα τύπου «Πόσοι τρόποι», με χρήση των βασικών αρχών της απαρίθμησης και της λογικής

**🧩 Μαθηματική Πρόκληση:**

Πόσοι διαφορετικοί 3ψήφιοι αριθμοί μπορούν να σχηματιστούν με τα ψηφία 2, 3, 4;

**🔐 Δραστηριότητα: Μυστικός Συνδυασμός**

Οι μαθητές καλούνται να σπάσουν ένα «αριθμητικό λουκέτο» με βάση στοιχεία και περιορισμούς (π.χ. το ψηφίο 3 είναι πάντα στο τέλος). Ομαδικά ή ατομικά.

 📝 **Ασκήσεις (12 Προβλήματα Λογικής & Συνδυαστικής)**

1. Πόσοι διαφορετικοί 3ψήφιοι αριθμοί μπορούν να σχηματιστούν με τα ψηφία 2, 3, 4 (χωρίς επανάληψη);

2. Πόσοι 3ψήφιοι αριθμοί μπορούμε να φτιάξουμε με τα ψηφία 1, 2, 3, **αν το ψηφίο 1 είναι πάντα στην αρχή**;

3. Πόσοι 4ψήφιοι αριθμοί σχηματίζονται με τα ψηφία 1, 2, 3, 4 **χωρίς επανάληψη**;

4. Πόσοι 3ψήφιοι αριθμοί με τα ψηφία 2, 3, 4 **έχουν πάντα το 4 στο τέλος**;

5. Με τα ψηφία 1, 2, 3 φτιάχνουμε 3ψήφιους αριθμούς. **Πόσοι ξεκινούν με 3**;

6. Πόσοι 3ψήφιοι αριθμοί με τα ψηφία 1, 2, 3 **έχουν το 1 στη μέση**;

7. Αν το ψηφίο 3 πρέπει να είναι **στη μέση**, πόσοι 3ψήφιοι αριθμοί σχηματίζονται με 1, 2, 3;

8. Πόσοι 3ψήφιοι αριθμοί με τα ψηφία 1, 2, 3 **δεν ξεκινούν με 2**;

9. Πόσοι 3ψήφιοι αριθμοί με 1, 2, 3 **έχουν το 3 στο τέλος**;

10. Με τα ψηφία 1, 2, 3, **ο 1 στην αρχή και ο 3 στο τέλος**. Πόσοι αριθμοί πληρούν αυτόν τον περιορισμό;

11. Πόσοι 3ψήφιοι αριθμοί με 1, 2, 3 **έχουν το 2 στη μέση**;

12. Πόσοι 3ψήφιοι αριθμοί μπορούμε να φτιάξουμε με τα ψηφία 5, 6, 7, **αν δεν επιτρέπεται το 5 στην αρχή**;

ΑΠΑΝΤΉΣΕΙΣ

Θεωρία: Βασικές αρχές απαρίθμησης

• Μεταθέσεις (χωρίς επανάληψη): Όταν έχουμε ν διαφορετικά στοιχεία και θέλουμε να βρούμε πόσες διατάξεις (σειρές) μπορούμε να φτιάξουμε, υπολογίζουμε:

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; medium;">\nu </span>}<span\; style="font-size:\; medium;">!</span><span\; style="font-size:\; medium;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; medium;">\nu </span>}<span\; style="font-size:\; medium;">\times </span><span\; style="font-size:\; medium;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; medium;">\nu </span>}<span\; style="font-size:\; medium;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; medium;">1</span>}<span\; style="font-size:\; medium;">)</span><span\; style="font-size:\; medium;">\times </span><span\; style="font-size:\; medium;">\cdots </span><span\; style="font-size:\; medium;">\times </span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; medium;">1</span>}\nu !\; =\; \nu \; \backslash times\; (\nu -1)\; \backslash times\; \backslash dots\; \backslash times\; 1$$

Παράδειγμα: Πόσοι αριθμοί με 3 ψηφία από 2, 3, 4 → $3!=63!\; =\; 6$

• Περιορισμοί θέσης: Αν ένα στοιχείο είναι “δεσμευμένο” σε κάποια θέση (π.χ. στην αρχή, στη μέση, στο τέλος), τότε λύνεται σε βήματα:

  1. Σταθεροποιούμε τη θέση

  2. Υπολογίζουμε μεταθέσεις των υπολοίπων

✅ Αναλυτικές Λύσεις Ασκήσεων

1. Πόσοι 3ψήφιοι αριθμοί με τα ψηφία 2, 3, 4;

• Όλα διαφορετικά → $3!=63!\; =\; 6$

• Πώς να σκεφτείς το πρόβλημα 📊

  Θέλεις να βρεις πόσοι διαφορετικοί τριψήφιοι αριθμοί μπορούν να σχηματιστούν με τα ψηφία 2, 3 και 4.

  ---

  Ποια θεωρία χρησιμοποιούμε;

  Χρησιμοποιούμε τη θεωρία των διατάξεων (permutations), γιατί:

  • Θέλουμε να φτιάξουμε αριθμούς με συγκεκριμένο μήκος (3 ψηφία).
  • Τα ψηφία δεν επαναλαμβάνονται (αν το ζητάς, διαφορετικά πες το).
  • Η σειρά των ψηφίων έχει σημασία (π.χ. 234 ≠ 342).

  ---

  Βήματα σκέψης:

  1. Πόσα ψηφία διαθέτεις;
     Έχεις τα ψηφία: 2, 3, 4
     Άρα 3 ψηφία.
  2. Μήκος αριθμού:
     Θέλεις 3 ψηφία (τρεις θέσεις).
  3. Επιλογές για κάθε θέση:
     • 1η θέση: 3 επιλογές (2, 3, ή 4)
     • 2η θέση: 2 επιλογές (αφού δεν επαναλαμβάνουμε το ψηφίο που πήραμε στην 1η θέση)
     • 3η θέση: 1 επιλογή (το τελευταίο ψηφίο που μένει)
  4. Πολλαπλασιάζουμε τις επιλογές:
     3 × 2 × 1 = 6

  ---

  Απάντηση:
  Μπορούν να σχηματιστούν 6 διαφορετικοί τριψήφιοι αριθμοί με τα ψηφία 2, 3, και 4, χωρίς επανάληψη ψηφίων.

  ---

  Πίνακας με όλους τους αριθμούς:

  $$

  Αριθμός	Ψηφία
  234	2,3,4
  243	2,4,3
  324	3,2,4
  342	3,4,2
  423	4,2,3
  432	4,3,2

  Επιτρέπονται επαναλήψεις ψηφίων ♻️

  Αν επιτρέπονται επαναλήψεις των ψηφίων, τότε:

  • Για κάθε θέση (3 θέσεις) μπορείς να βάλεις οποιοδήποτε από τα 3 ψηφία (2, 3, 4).
  • Άρα, οι επιλογές για κάθε θέση είναι 3.

  Ο συνολικός αριθμός τριψήφιων αριθμών είναι:

  [
  3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27
  ]

  ---

  Πίνακας σύγκρισης

  Περίπτωση	Τρόπος υπολογισμού	Αριθμός τριψήφιων αριθμών
  Χωρίς επανάληψη	3 × 2 × 1	6
  Με επανάληψη	3³	27

  ---

  Αν τα ψηφία είναι περισσότερα (π.χ. 5 ψηφία) 🧮

  Αν έχεις π.χ. 5 ψηφία και θέλεις να φτιάξεις 3ψήφιους αριθμούς:

  • Χωρίς επανάληψη:
    Επιλογές = 5 × 4 × 3 = 60
  • Με επανάληψη:
    Επιλογές = 5³ = 125

• Απάντηση: 6

2. Πόσοι 3ψήφιοι με 1, 2, 3 αν το 1 είναι πάντα πρώτο;

• Αρχή: 1 → απομένουν 2 ψηφία για τις άλλες 2 θέσεις → $2!=22!\; =\; 2$

• Απάντηση: 2

3. Πόσοι 4ψήφιοι με 1,2,3,4 (χωρίς επανάληψη);

• $$4!=244! = 24

• Απάντηση: 24

4. Με 2,3,4 – αν 4 πάντα στο τέλος;

• Τελευταίο: 4 → απομένουν 2 ψηφία για τις πρώτες θέσεις → $2!=22!\; =\; 2$

• Απάντηση: 2

5. Με 1,2,3 – πόσοι ξεκινούν με 3;

• Πρώτο: 3 → απομένουν 1 και 2 → $2!=22!\; =\; 2$

• Απάντηση: 2

6. Με 1,2,3 – πόσοι έχουν το 1 στη μέση;

• Δεύτερη θέση: 1 → μένουν 2 ψηφία για θέση 1 και 3 → $2!=22!\; =\; 2$

• Απάντηση: 2

7. Το 3 στη μέση (με 1,2,3);

• Ίδιο μοτίβο → $2!=22!\; =\; 2$

• Απάντηση: 2

8. Με 1,2,3 και το 2 δεν στην αρχή

• Επιτρεπόμενα ψηφία στην αρχή: 1 ή 3 → 2 επιλογές

• Για κάθε μία → $2!=22!\; =\; 2$ αριθμοί

• Σύνολο: $2\times 2=42\; \backslash times\; 2\; =\; 4$

• Απάντηση: 4

9. Με 1,2,3 – το 3 στο τέλος

• Τελευταίο: 3 → $2!=22!\; =\; 2$

• Απάντηση: 2

10. 1 στην αρχή & 3 στο τέλος

• Μόνο μια θέση μένει (μεσαία) → μόνο το 2 → αριθμός: 123

• Απάντηση: 1

11. Το 2 στη μέση

• Παρόμοια με άλλες → $2!=22!\; =\; 2$

• Απάντηση: 2

12. Με 5,6,7 – 5 δεν πρώτο

• Επιλογές για 1η θέση: 6 ή 7 (2 επιλογές)

• Για κάθε μία → $2!=22!\; =\; 2$ συνδυασμοί

• Σύνολο: $2\times 2=42\; \backslash times\; 2\; =\; 4$

• Απάντηση: 4