Δεν μπορείς να φτάσεις εκεί από εδώ
Το άπειρο στα μαθηματικά είναι πάντα ανεξέλεγκτο
μέχρι να αρχίσετε να το χειρίζεστε σωστά.
Τζέιμς Νιούμαν
Δεν μπορώ να συγκρατηθώ - παρά τη θέλησή μου
το άπειρο με βασανίζει.
Άλφρεντ ντε Μουσέ
Ο χώρος έχει όριο; Είχε ο χρόνος αρχή και θα τελειώσει ποτέ; Υπάρχει ο μεγαλύτερος αριθμός; Ακόμα και ως παιδί, κάνουμε τέτοιες ερωτήσεις. Αργά ή γρήγορα, κάθε άτομο αναπτύσσει ενδιαφέρον για το άπειρο. Αλλά το άπειρο δεν είναι κάποια αόριστη και αόριστη έννοια, αλλά ένα αντικείμενο αυστηρής έρευνας. Και τα αποτελέσματα αυτών των μελετών είναι μερικές φορές τόσο παράδοξα που είναι δύσκολο να πιστευτούν.
Το απεριόριστο αποτελεί αντικείμενο συζήτησης μεταξύ φιλοσόφων, θεολόγων και κριτικών τέχνης. Ο Αμερικανός κιθαρίστας και συνθέτης της τζαζ Πατ Ματίνι είπε κάποτε: «Στους μουσικούς, αναζητώ την αίσθηση του απείρου». Ο Άγγλος ποιητής και καλλιτέχνης Γουίλιαμ Μπλέικ πίστευε ότι οι αισθήσεις μας μας εμποδίζουν να εκτιμήσουμε την πραγματική φύση των πραγμάτων και ότι "αν καθαριστούν οι πόρτες της αντίληψης, όλα όσα υπάρχουν θα φαίνονται στον άνθρωπο ως έχουν - άπειρα". Ο Γάλλος συγγραφέας Γκουστάβ Φλομπέρ προειδοποίησε για τον κίνδυνο που περιμένει όσους το σκέφτονται πολύ: «Όσο πλησιάζετε στο άπειρο, τόσο περισσότερο βυθίζεστε στη φρίκη».
Οι επιστήμονες πρέπει επίσης να ασχολούνται με το άπειρο κατά καιρούς και αυτές οι συναντήσεις δεν είναι πάντα ευχάριστες. Στη δεκαετία του 1930, θεωρητικοί φυσικοί, μελετώντας τις ιδιότητες των στοιχειωδών σωματιδίων, ανακάλυψαν ότι οι τιμές που λαμβάνονται στους υπολογισμούς διογκώνονται στο άπειρο ή, με άλλα λόγια, τείνουν προς αυτό. Αυτό συνέβη, για παράδειγμα, όταν η ακτίνα ηλεκτρονίων θεωρήθηκε μηδενική, όπως προέκυψε από τα αποτελέσματα πειραμάτων για σκέδαση ηλεκτρονίων-ηλεκτρονίων. Οι υπολογισμοί έδειξαν ότι η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου που περιβάλλει το σωματίδιο σε αυτή την περίπτωση είναι απείρως μεγάλη, κάτι που είναι παράλογο. Η σύγχυση αποφεύχθηκε τελικά με ένα μαθηματικό τέχνασμα που ονομάζεται νεομαλοποίηση. Αυτό είναι ένα τυπικό τέχνασμα στην κβαντομηχανική σήμερα, αν και ορισμένοι φυσικοί εξακολουθούν να μπερδεύονται από την αυθαίρετη φύση του.
Τώρα ας δούμε τι συμβαίνει στο άλλο άκρο της φυσικής κλίμακας. Οι κοσμολόγοι ενδιαφέρονται για το αν το μέγεθος του σύμπαντος είναι περιορισμένο ή αν απλώνεται απεριόριστα προς όλες τις κατευθύνσεις. Απλά δεν το γνωρίζουμε σήμερα. Το τμήμα του σύμπαντος που μπορούμε να δούμε (τουλάχιστον κατ 'αρχήν) - το λεγόμενο παρατηρήσιμο σύμπαν - έχει μήκος περίπου 92 δισεκατομμύρια έτη φωτός, όπου ένα έτος φωτός είναι η απόσταση που διανύει το φως σε ένα έτος. Το παρατηρήσιμο Σύμπαν είναι εκείνο το μέρος ολόκληρου του Σύμπαντος από το οποίο το φως έχει καταφέρει να φτάσει στη Γη από τη Μεγάλη Έκρηξη. Έξω από αυτό, μπορεί κάλλιστα να υπάρχει ένας πολύ μεγαλύτερος, ενδεχομένως άπειρος χώρος, στον οποίο απλά δεν μπορούμε να φτάσουμε με κανένα τρόπο.
Από τότε που ο Αϊνστάιν ανέπτυξε τη γενική σχετικότητα, γνωρίζαμε ότι ο χώρος στον οποίο ζούμε μπορεί να καμπυλωθεί, όπως, για παράδειγμα, η επιφάνεια μιας σφαίρας είναι καμπύλη - η μόνη διαφορά είναι ότι ο χώρος μας έχει τρεις διαστάσεις και όχι δύο.Για να το πούμε σε πιο αυστηρή γλώσσα, ο χωροχρόνος (και συνδέονται άρρηκτα μεταξύ τους) δεν υπακούει πάντα στους κανόνες της γεωμετρίας που μας είναι γνωστοί από το σχολείο. Γνωρίζουμε με βεβαιότητα ότι σε τοπική κλίμακα, ο χωροχρόνος είναι καμπυλωτός: γύρω από οποιαδήποτε αντικείμενα με μάζα, όπως ο Sunλιος ή η Γη, λυγίζει σαν ένα φύλλο καουτσούκ αν του βάλετε ένα φορτίο. Αλλά αν ολόκληρο το Σύμπαν είναι καμπύλο (μη Ευκλείδειο) ή επίπεδο, δεν το γνωρίζουμε ακόμη. Οι κοσμολόγοι ενδιαφέρονται έντονα για αυτό, αφού η τύχη του εξαρτάται τελικά από το σχήμα του Σύμπαντος.
Εάν το Σύμπαν είναι καμπυλωμένο σε παγκόσμια κλίμακα, τότε μπορεί να έχει κλειστό σχήμα - όπως μια σφαίρα ή ένα ντόνατ. Τότε το μέγεθός του θα είναι περιορισμένο, αν και ακόμα δεν θα λειτουργήσει για να φτάσει στο ορόσημο ή στο όριο, όσο σκληρά κι αν προσπαθήσεις. Μια άλλη επιλογή είναι το Σύμπαν με τη μορφή ενός είδους σέλας, που συνεχίζεται απεριόριστα μακριά. Σε αυτή την περίπτωση, μπορεί είτε να είναι «ανοιχτό» και να επεκτείνεται απεριόριστα, είτε να έχει ακόμα πεπερασμένο μέγεθος. Επιπλέον, το σύμπαν στο σύνολό του μπορεί να είναι επίπεδο - και πάλι είτε πεπερασμένο είτε άπειρο. Ανεξάρτητα από το ποια από τις επιλογές αποδεικνύεται αληθινή, αν στην αρχή το Σύμπαν είχε ένα πεπερασμένο μέγεθος, τότε θα παραμείνει έτσι (αν και μπορεί να συνεχίσει να μεγαλώνει), και αν είναι άπειρο, τότε ήταν πάντα έτσι Το
Η ιδέα ότι το Σύμπαν ήταν πάντα άπειρο, με την πρώτη ματιά, έρχεται σε αντίθεση με τη γενικά αποδεκτή θεωρία της Μεγάλης Έκρηξης, σύμφωνα με την οποία η διαστολή της ύλης και της ενέργειας έγινε από μια περιοχή που ήταν αρχικά πολύ μικρότερη από το μέγεθος ενός ατόμου. Αλλά στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει αντίφαση: αυτή η αρχικά μικροσκοπική περιοχή ενσάρκωνε μόνο το μέγεθος του παρατηρήσιμου Σύμπαντος (αυτό που καθορίζεται από την απόσταση που το φως μπόρεσε να καλύψει) ένα κλάσμα δευτερολέπτου μετά τη Μεγάλη Έκρηξη. Το σύμπαν στο σύνολό του θα μπορούσε κάλλιστα να ήταν άπειρο από την αρχή, αν και θα ήταν αδύνατο να το δούμε. Ότι το γεγονός ότι η άλλη επιλογή - τόσο το άπειρο στο χώρο και το χρόνο του Σύμπαντος, όσο και το πεπερασμένο - δεν είναι τόσο εύκολο να κατανοηθεί με το μυαλό, αλλά είναι πιθανότατα ακόμα πιο δύσκολο να φανταστούμε ένα πεπερασμένο Σύμπαν. Όπως έγραψε ο φιλόσοφος Τόμας Πέιν: «Είναι απερίγραπτα δύσκολο να καταλάβουμε ότι ο χώρος δεν έχει τέλος, αλλά είναι ακόμη πιο δύσκολο να κατανοήσουμε το τελικό του. Πάνω από τις δυνάμεις του ανθρώπου να κατανοήσουν την αιώνια έκταση αυτού που ονομάζουμε χρόνος, αλλά είναι ακόμη πιο αδύνατο να φανταστούμε μια εποχή που δεν θα υπάρχει χρόνος ».
Τα δεδομένα που έχουν συλλέξει οι αστρονόμοι μέχρι σήμερα από τη μελέτη μακρινών γαλαξιών υποδηλώνουν ότι το σύμπαν είναι επίπεδο και άπειρο. Ωστόσο, τι ακριβώς σημαίνει η λέξη «άπειρο» σε σχέση με τον χώρο και το χρόνο στο πραγματικό σύμπαν δεν είναι απολύτως σαφές. Δεν θα μπορέσουμε ποτέ να αποδείξουμε με άμεσες μετρήσεις ότι ο χώρος και ο χρόνος δεν έχουν τέλος, γιατί δεν θα μπορέσουμε ποτέ να λάβουμε πληροφορίες από μια απείρως μακρινή απόσταση. Μια άλλη δυσκολία είναι η ίδια η φύση του χώρου και του χρόνου. Οι φυσικοί πιστεύουν ότι υπάρχει μια ελάχιστη δυνατή απόσταση και ένας ελάχιστος δυνατός χρόνος, γνωστός ως μήκος του Πλανκ και χρόνος Πλανκ, αντίστοιχα. Με άλλα λόγια, ο χώρος και ο χρόνος δεν είναι συνεχείς, αλλά έχουν κβαντισμένη, κοκκώδη φύση. Το μήκος του Πλανκ είναι πολύ μικροσκοπικό, μόλις 1,6 × 10–35 μέτρα, ή εκατό-βιντελίων το μέγεθος ενός πρωτονίου. Και ο χρόνος του Πλανκ, δηλαδή το χρονικό διάστημα κατά το οποίο το φως διανύει μια απόσταση ίση με το μήκος του Πλανκ, είναι αμελητέο - λιγότερο από 10-43 δευτερόλεπτα. Και όμως, λόγω της παρουσίας αυτής της διακριτικότητας του χωροχρόνου, πρέπει να είμαστε πολύ προσεκτικοί όταν μιλάμε για άπειρο στο πλαίσιο του φυσικού σύμπαντος. Όπως ανακάλυψαν οι μαθηματικοί, δεν είναι όλες οι άπειρες ίδιες.
Οι Έλληνες και Ινδοί φιλόσοφοι της αρχαιότητας ήταν οι πρώτοι που κατέγραψαν τις σκέψεις τους για το άπειρο πριν από δύο χιλιάδες χρόνια. Ο Αναξίμανδρος τον VI αιώνα π.Χ. θεωρούσε την πηγή προέλευσης όλων των πραγμάτων "απείρον" ("άπειρο").Ένα αιώνα αργότερα, ο συμπατριώτης του Ζήνων της Ελέας (η περιοχή σήμερα γνωστή ως Λουκανία στη νότια Ιταλία) εξέτασε για πρώτη φορά το άπειρο από μαθηματική άποψη.
Ο Ζήνων ήταν ο πρώτος που αντιλήφθηκε τον κίνδυνο με τον οποίο απειλείται το άπειρο. Τα παράδοξα που περιέγραψε, στα πιο διάσημα από τα οποία ο Αχιλλέας αγωνίζεται σε αγώνα με χελώνα, προκάλεσαν ανησυχία. Εμπιστευμένος στη νίκη του, ο μυθικός μας ήρωας δίνει ένα καλό ξεκίνημα στη χελώνα. Αλλά πώς, ρωτάει ο Ζήνων, πώς μπορεί ο Αχιλλέας να προσπεράσει ένα χαλαρό ερπετό; Άλλωστε, μέχρι να φτάσει στο μέρος όπου ξεκίνησε το ταξίδι της η χελώνα, θα σέρνεται μπροστά. Όταν ο Αχιλλέας έχει διασχίσει τη νέα απόσταση που τους χωρίζει, η χελώνα θα έχει προχωρήσει ακόμη περισσότερο. Και ούτω καθεξής, ad infinitum. Ανεξάρτητα από το πόσο τρέχει ο Αχιλλέας στον τόπο που μόλις βρέθηκε η χελώνα, θα μπορεί να πηγαίνει λίγο πιο μακριά κάθε φορά. Προφανώς, υπάρχει μια ορισμένη ασυμφωνία μεταξύ του πώς μερικές φορές φανταζόμαστε το άπειρο και του πώς όλα συμβαίνουν στην πραγματικότητα. Ο ίδιος ο Ζήνων ντράπηκε και μπερδεύτηκε από αυτό και άλλα παράδοξα που όχι μόνο αποφάσισε να μην σκέφτεται άλλο το άπειρο, αλλά κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η κίνηση είναι αδύνατη!
Ένα παρόμοιο σοκ βίωσε ο Πυθαγόρας και οι οπαδοί του, πεπεισμένοι ότι τα πάντα στο σύμπαν μπορούν τελικά να περιγραφούν με ακέραιους αριθμούς. Άλλωστε, ακόμη και τα συνηθισμένα κλάσματα είναι μόνο ένας ακέραιος αριθμός διαιρούμενος με έναν άλλο. Αλλά η τετραγωνική ρίζα του 2 - το μήκος της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου με ένα πόδι το καθένα - δεν ταιριάζει σε αυτό το αρμονικό κοσμικό σχήμα. Ταν ένας «παράλογος» αριθμός, ανέκφραστη ως η αναλογία δύο ακέραιων αριθμών. Εάν προσπαθήσετε να το αναπαραστήσετε με τη μορφή δεκαδικού κλάσματος, ο αριθμός των δεκαδικών ψηφίων αυξάνεται στο άπειρο και καμία σαφώς επαναλαμβανόμενη ομάδα αριθμών δεν προκύπτει. Οι Πυθαγόρειοι δεν γνώριζαν όλες αυτές τις λεπτότητες, ανησυχούσαν μόνο ότι ένα ποταπό τέρας με τη μορφή τετραγωνικής ρίζας των 2 είχε εισέλθει στον τέλειο κόσμο τους και ως εκ τούτου απέκρυψαν προσεκτικά την ύπαρξή του.
Αυτά τα δύο παραδείγματα απεικονίζουν το βασικό πρόβλημα που σχετίζεται με την κατανόηση του άπειρου. Η φαντασία μας αντιμετωπίζει εύκολα αυτό που δεν έχει φτάσει ακόμα στο τέλος του: μπορούμε πάντα να φανταστούμε πώς οποιαδήποτε απόσταση αυξάνεται κατά ένα άλλο βήμα, μια άλλη προστίθεται σε οποιονδήποτε αριθμό αντικειμένων. Αλλά το άπειρο σε μια γενικευμένη έννοια, ως έννοια, δεν χωράει στο κεφάλι. Οι μαθηματικοί έχουν αγωνιστεί εδώ και πολύ καιρό, επειδή έχουν συνηθίσει στον τομέα τους να ασχολούνται με ακριβείς ποσότητες και προσεκτικά καθορισμένες έννοιες. Και πώς μπορείτε να εργαστείτε με αντικείμενα που σίγουρα υπάρχουν, αλλά δεν τελειώνουν ποτέ - με έναν αριθμό όπως √2 (ξεκινώντας από 1, 41421356237 … και συνεχίζοντας όλο και περισσότερο χωρίς εμφανή σειρά και προβλέψιμες επαναλήψεις) ή μια καμπύλη που πιέζεται ευθεία όλα όλο και πιο κοντά - και ταυτόχρονα αποφεύγοντας τη συνάντηση με το άπειρο; Ο Αριστοτέλης πρότεινε μια πιθανή λύση, υποστηρίζοντας ότι υπάρχουν δύο είδη απείρου. Το «πραγματικό» (ή «ολοκληρωμένο») άπειρο, το οποίο, σύμφωνα με τον Αριστοτέλη, δεν υπάρχει στην πραγματικότητα, είναι ένα άπειρο πλήρως πραγματοποιημένο, που επιτυγχάνεται πραγματικά (μαθηματικά ή φυσικά) κάποια στιγμή. Το «δυνητικό» άπειρο, το οποίο ο Αριστοτέλης πίστευε ότι εκδηλωνόταν προφανώς στη φύση - για παράδειγμα, στην ατελείωτη εναλλαγή εποχών ή στην απεριόριστη διαιρέτηση ενός πλινθώματος χρυσού (δεν γνώριζε για τα άτομα) - είναι ένα άπειρο που προχωράει σε ένα απεριόριστο χρόνος. Αυτή η θεμελιώδης διάκριση μεταξύ πραγματικού και δυνητικού άπειρου υπήρχε στα μαθηματικά για πάνω από δύο χιλιάδες χρόνια.
Το 1831, ο ίδιος ο Karl Gauss μίλησε για τη «φρίκη του πραγματικού απείρου» ως εξής:
… Διαμαρτύρομαι για τη χρήση μιας άπειρης ποσότητας ως πλήρους, που δεν επιτρέπεται ποτέ στα μαθηματικά.Το άπειρο είναι απλώς ένα façon de parler, ενώ στην πραγματικότητα πρόκειται για τα όρια στα οποία ορισμένες σχέσεις πλησιάζουν αυθαίρετα, ενώ σε άλλες επιτρέπεται να αναπτυχθούν χωρίς περιορισμούς.
* Εικόνα ομιλίας (fr.).
Περιοριζόμενοι στη μελέτη του πιθανού άπειρου, οι μαθηματικοί μπόρεσαν να αναπτύξουν σημαντικές έννοιες όπως άπειρες σειρές, όρια και απειροελάχιστες ποσότητες, φτάνοντας έτσι στη μαθηματική ανάλυση, αλλά μη αναγνωρίζοντας το άπειρο ως ανεξάρτητο μαθηματικό αντικείμενο. Και όμως, ακόμη και στον Μεσαίωνα, αντιμετώπισαν παράδοξα και άλυτα προβλήματα, πράγμα που σήμαινε ότι το πραγματικό άπειρο δεν θα μπορούσε απλώς να απορριφθεί. Αυτά τα άλυτα προβλήματα προέκυψαν από την αρχή ότι όλα τα στοιχεία ενός συνόλου αντικειμένων μπορούν να βρουν ένα ζευγάρι σε ένα άλλο σύνολο αντικειμένων του ίδιου μεγέθους. Όταν όμως προσπάθησαν να εφαρμόσουν αυτήν την αρχή σε απείρως μεγάλα σύνολα, αντίκειται ανοιχτά στην ιδέα της κοινής λογικής που εκφράστηκε για πρώτη φορά από τον Ευκλείδη: ότι το σύνολο είναι πάντα μεγαλύτερο από οποιοδήποτε μέρος του. Για παράδειγμα, φάνηκε πολύ πιθανό να σχηματιστούν ζεύγη όλων των θετικών ακεραίων και μόνο εκείνων που είναι άρτιοι: αντιτίθενται σε ένα έως δύο, δύο σε τέσσερα, τρία σε έξι και ούτω καθεξής, παρά το γεγονός ότι οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί περιλαμβάνουν ακόμη και. Ο Γαλιλαίος, ο οποίος μελέτησε αυτό το πρόβλημα, ήταν ο πρώτος που πρότεινε μια πιο διαφωτισμένη προσέγγιση στο άπειρο, δηλώνοντας: «Το άπειρο πρέπει να υπακούει σε διαφορετική αριθμητική από τους πεπερασμένους αριθμούς».
Η έννοια του δυνητικού απείρου χαλαρώνει την εγρήγορσή μας, αναγκάζοντάς μας να σκεφτούμε ότι μπορείτε να φτάσετε πιο κοντά στο άπειρο - απλά πρέπει να προχωρήσετε παραπέρα ή να πάτε λίγο περισσότερο. Και αυτό δεν απέχει πολύ από τον διαδεδομένο μύθο ότι το άπειρο είναι κάτι πολύ μεγάλο και ένα τρισεκατομμύριο ή, ας πούμε, ένα τρισεκατομμύριο τρισεκατομμύρια τρις είναι κάπως πιο κοντά στο άπειρο από, ας πούμε, δέκα ή χίλια. Στην πραγματικότητα, αυτό δεν ισχύει. Ανεξάρτητα από το πόσο κινείστε κατά μήκος του αριθμητικού άξονα, ανεξάρτητα από το πόσες μετρήσεις, δεν μπορείτε να φτάσετε ούτε μια ίτα πιο κοντά στο άπειρο. Ο αριθμός 1 απέχει από το άπειρο (ή τόσο κοντά του) όσο οποιοσδήποτε άλλος πεπερασμένος αριθμός, ανεξάρτητα από το πόσο τεράστιος μπορεί να είχαμε αρκετή φαντασία για να ονομάσουμε. Επιπλέον, σε οποιονδήποτε αριθμό, όσο μικρός και αν είναι, υπάρχει ήδη άπειρο, οπότε η μετάβαση σε όλο και περισσότερους 2 αριθμούς σε 2 αναζητήσεις είναι ένα εντελώς άχρηστο γεγονός. Η ουσία είναι ότι το άπειρο υπάρχει ακόμη, για παράδειγμα, στο διάστημα μεταξύ 0 και 1, αφού περιέχει άπειρο κλάσματα: ½, ⅓, ¼ κ.ο.κ. Το άπειρο δεν έχει καμία σχέση με τεράστιους πεπερασμένους αριθμούς. Για να συνεργαστούμε με αυτό, θα πρέπει να ξεφύγουμε από την αιχμαλωσία τους, να σταματήσουμε να τα χρησιμοποιούμε ως στηρίγματα για την κατανόησή μας.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου