Επαναληπτικές ασκήσεις μαθηματικά α γυμνασίου για τις τελικές εξετάσεις με αυξημένο βαθμό δυσκολίας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αριθμοί & Πράξεις (Αυξημένη Δυσκολία)

1. Κριτήρια Διαιρετότητας & Σύνθετοι Αριθμοί: Βρείτε τον μεγαλύτερο τριψήφιο αριθμό που διαιρείται ταυτόχρονα με το 2, το 3, το 5 και το 9. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

   • Σχόλιο: Εδώ οι μαθητές πρέπει να συνδυάσουν πολλαπλά κριτήρια και να ανατρέξουν στην έννοια του Ελάχιστου Κοινού Πολλαπλάσιου (ΕΚΠ) έστω και άτυπα, ή να χρησιμοποιήσουν λογική για να βρουν τον αριθμό. Η εύρεση του μεγαλύτερου τριψήφιου προσθέτει μια επιπλέον παράμετρο.

2. Προτεραιότητα Πράξεων με πολλαπλές παρενθέσεις & δυνάμεις: Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: A=5⋅[(42−7)⋅2−(33:9+5)]−2⋅(100:22−15)

   • Σχόλιο: Αυξάνουμε την πολυπλοκότητα της παράστασης με εμφωλευμένες παρενθέσεις και περισσότερες δυνάμεις, απαιτώντας αυστηρή τήρηση της σειράς των πράξεων και προσοχή στους υπολογισμούς.

3. Εφαρμογή Επιμεριστικής Ιδιότητας & Απλοποίηση Αλγεβρικών Παραστάσεων: Απλοποιήστε την παρακάτω αλγεβρική παράσταση: $B=3(2x+5)-2(x-4)+7x-(x+10)$

   • Σχόλιο: Εδώ συνδυάζουμε την επιμεριστική ιδιότητα με την απλοποίηση ομοίων όρων, εισάγοντας και την αφαίρεση μιας παρένθεσης (που αλλάζει πρόσημα). Απαιτείται προσοχή στα πρόσημα.

4. Αντικατάσταση και Διπλή Σχέση: Δίνονται οι παραστάσεις  

   • Σχόλιο: Αυτό το πρόβλημα απαιτεί δύο βήματα: πρώτα την επίλυση μιας απλής εξίσωσης για να βρεθεί η τιμή μιας μεταβλητής και μετά την αντικατάσταση και στις δύο παραστάσεις. Αυξάνει το επίπεδο λογικής σκέψης.

   K=2x2−3y και M=(x−y)2+5

5. . Αν γνωρίζετε ότι $x=4$ και η τιμή της παράστασης K είναι 11, βρείτε την τιμή του y και στη συνέχεια υπολογίστε την τιμή της παράστασης M.

6. Ευκλείδεια Διαίρεση & Συνδυασμός με Κριτήρια Διαιρετότητας: Ένας αριθμός A όταν διαιρεθεί με το 7 δίνει πηλίκο 12 και υπόλοιπο 5. α) Βρείτε τον αριθμό A. β) Ο αριθμός A διαιρείται με το 3; Με το 4; Με το 6; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας για κάθε περίπτωση.

   • Σχόλιο: Συνδυάζει την εφαρμογή του τύπου της Ευκλείδειας διαίρεσης ($\Delta =\delta \cdot \pi +\upsilon$) με την εφαρμογή των κριτηρίων διαιρετότητας στον αριθμό που θα βρεθεί.

7. ΜΚΔ και ΕΚΠ με προβλήματα: Τρία σχοινιά έχουν μήκος 36 μέτρα, 48 μέτρα και 60 μέτρα αντίστοιχα. Θέλουμε να τα κόψουμε σε ίσα κομμάτια, ώστε κάθε κομμάτι να έχει το μεγαλύτερο δυνατό μήκος και να μην περισσέψει καθόλου σχοινί. α) Πόσο θα είναι το μήκος κάθε κομματιού; β) Πόσα κομμάτια θα πάρουμε συνολικά; γ) Αν θέλαμε να τα κόψουμε σε κομμάτια μήκους 4 μέτρων, πόσα κομμάτια θα παίρναμε από κάθε σχοινί και πόσα συνολικά;

   • Σχόλιο: Το πρόβλημα απαιτεί την εύρεση του ΜΚΔ. Η προσθήκη του δεύτερου και τρίτου ερωτήματος αυξάνει τη δυσκολία, ζητώντας όχι μόνο τον ΜΚΔ αλλά και την εφαρμογή του αποτελέσματος. Το γ) ερώτημα απαιτεί επανάληψη των υπολογισμών για διαφορετικό μήκος.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Κλάσματα & Ποσοστά (Αυξημένη Δυσκολία)

1. Σύνθετοι Αντίστροφοι & Αλγεβρική Εφαρμογή: Δίνονται οι παραστάσεις

   
   
   . α) Για ποιες τιμές των x και y δεν ορίζονται οι παραστάσεις K και M αντίστοιχα; β) Αν οι παραστάσεις K και M είναι αντίστροφες, βρείτε μια σχέση μεταξύ των x και y.
   • Σχόλιο: Αυτό εισάγει την έννοια των μεταβλητών σε κλάσματα και την εύρεση τιμών που καθιστούν τον παρονομαστή μηδέν. Στο β) ζητά την εφαρμογή του ορισμού των αντίστροφων αριθμών σε αλγεβρική μορφή, οδηγώντας σε μια εξίσωση.

2. Ποσοστά με διαδοχικές μεταβολές και αρχική τιμή: Η τιμή ενός tablet μειώθηκε αρχικά κατά 20%. Στη συνέχεια, για να ενισχυθούν οι πωλήσεις, η νέα τιμή αυξήθηκε κατά 25%. Αν η τελική τιμή του tablet είναι 300€, ποια ήταν η αρχική του τιμή;

   • Σχόλιο: Συνδυάζει δύο διαδοχικές ποσοστιαίες μεταβολές (μείωση και αύξηση) και ζητά την αρχική τιμή, κάνοντας το πρόβλημα πιο σύνθετο από την απλή εύρεση της τελικής τιμής. Απαιτείται η χρήση εξίσωσης.

3. Ποσοστά με σύγκριση και προβλήματα: Σε μια τάξη, το 60% των μαθητών είναι αγόρια. Αν τα κορίτσια είναι 12, βρείτε: α) Πόσοι είναι οι μαθητές συνολικά στην τάξη; β) Πόσα είναι τα αγόρια; γ) Αν από τα αγόρια, το 25% φοράει γυαλιά, πόσα αγόρια φοράνε γυαλιά;

   • Σχόλιο: Ένα πρόβλημα που απαιτεί την εξαγωγή πληροφοριών από τα δεδομένα. Οι μαθητές πρέπει να κατανοήσουν ότι το 40% του συνόλου είναι τα 12 κορίτσια για να βρουν το σύνολο. Στη συνέχεια, να εφαρμόσουν ποσοστό σε υποσύνολο.

4. Συνδυασμός Κλασμάτων και Ποσοστών: Ένας αγρότης είχε μια έκταση γης. Το 1/4  της έκτασης το φύτεψε με ελιές. Από το υπόλοιπο, το 60% το φύτεψε με αμπέλια. Αν η έκταση που φύτεψε με αμπέλια είναι 90 στρέμματα, πόσα στρέμματα είναι η συνολική έκταση γης του αγρότη;

   • Σχόλιο: Αυτό το πρόβλημα συνδυάζει κλάσματα και ποσοστά. Οι μαθητές πρέπει να υπολογίσουν το "υπόλοιπο" μετά την πρώτη φύτευση και στη συνέχεια να εφαρμόσουν το ποσοστό σε αυτό το υπόλοιπο. Απαιτείται προσεκτική ανάγνωση και βήμα-βήμα επίλυση.

5. Πρόβλημα με Κέρδος/Ζημιά σε Ποσοστά: Ένας έμπορος αγόρασε ένα προϊόν προς 80€. Θέλει να το πουλήσει με τέτοιο τρόπο ώστε να έχει κέρδος 25% επί της τιμής αγοράς. Όμως, επειδή δεν το πούλησε αμέσως, αποφάσισε να κάνει έκπτωση 10% στην τιμή πώλησης που είχε αρχικά ορίσει. α) Ποια ήταν η τιμή που όρισε αρχικά για πώληση (με το κέρδος 25%) ; β) Ποια είναι η τελική τιμή πώλησης μετά την έκπτωση; γ) Το τελικό κέρδος ή ζημιά του εμπόρου σε σχέση με την τιμή αγοράς, εκφρασμένο σε ποσοστό.

• Σχόλιο: Ένα ολοκληρωμένο πρόβλημα που συνδυάζει κέρδος, έκπτωση και ζητά το τελικό ποσοστό κέρδους/ζημιάς, απαιτώντας πολλαπλά βήματα και προσοχή στις βάσεις υπολογισμού των ποσοστών

Απαντήσεις