Προβλήματα Μαθηματικών με Ευρώ – Ε΄ Δημοτικού

Απλά προβλήματα

1. Η Μαρία αγόρασε ένα τετράδιο που κόστιζε 2,50 € και ένα στυλό που κόστιζε 1,20 €. Πόσα πλήρωσε συνολικά;

2. Ο Γιάννης έχει 10 € και θέλει να αγοράσει ένα παιχνίδι που κοστίζει 7,80 €. Πόσα ρέστα θα πάρει;

3. Η Άννα πλήρωσε 5 € για ένα παγωτό και πήρε 1,30 € ρέστα. Πόσο κόστιζε το παγωτό;

4. Ένα βιβλίο κοστίζει 8,90 €. Πόσα θα κοστίσουν 2 τέτοια βιβλία;

5. Ο Πέτρος έχει 20 € και αγοράζει ένα σακίδιο που κοστίζει 18,75 €. Πόσα χρήματα του μένουν;

6. Πιο σύνθετα προβλήματα

6. Η Ελένη αγόρασε 3 κιλά μήλα προς 2,40 € το κιλό και 2 κιλά πορτοκάλια προς 1,80 € το κιλό. Πλήρωσε με χαρτονόμισμα των 20 €. Πόσα ρέστα πήρε;

7. Ο Νίκος πήγε στο βιβλιοπωλείο και αγόρασε 2 τετράδια των 1,75 €, ένα βιβλίο των 8,90 € και έναν χάρακα των 2,40 €. Αν έδωσε 20 €, πόσα χρήματα του έμειναν;

8. Στο κυλικείο του σχολείου, η Μαρία αγόρασε 2 χυμούς των 1,20 €, 3 κουλούρια των 0,80 € και μία σοκολάτα των 1,50 €. Αν είχε 10 €, πόσα χρήματα ξόδεψε και πόσα της έμειναν;

9. Ένα ζευγάρι παπούτσια κοστίζει 56 €. Το κατάστημα κάνει έκπτωση 15 €. Αν η Άννα αγοράσει και μία τσάντα που κοστίζει 24,50 €, πόσο θα πληρώσει συνολικά;

10. Ο Πέτρος θέλει να αγοράσει 4 εισιτήρια κινηματογράφου που κοστίζουν 6,50 € το καθένα και 4 ποπ κορν που κοστίζουν 3,20 € το καθένα. Αν έχει 50 €, του φτάνουν τα χρήματα; Αν όχι, πόσα επιπλέον χρειάζεται

ΛΎΣΗ

1.

• Τετράδιο: 2,50 €

• Στυλό: 1,20 €

• Σύνολο: 2,50 € + 1,20 € = 3,70 €

2.

• Χρήματα που έχει: 10,00 €

• Κόστος παιχνιδιού: 7,80 €

• Ρέστα: 10,00 € − 7,80 € = 2,20 €

3.

• Πλήρωσε: 5,00 €

• Ρέστα: 1,30 €

• Κόστος παγωτού: 5,00 € − 1,30 € = 3,70 €

4.

• Κόστος ενός βιβλίου: 8,90 €

• Για 2 βιβλία: 8,90 € × 2 = 17,80 €

5.

• Χρήματα που έχει: 20,00 €

• Κόστος σακιδίου: 18,75 €

• Υπόλοιπο: 20,00 € − 18,75 € = 1,25 €

6.

• Μήλα: 3 kg × 2,40 € = 7,20 €

• Πορτοκάλια: 2 kg × 1,80 € = 3,60 €

• Σύνολο: 7,20 € + 3,60 € = 10,80 €

• Ρέστα: 20,00 € − 10,80 € = 9,20 €

7.

• Τετράδια: 2 × 1,75 € = 3,50 €

• Βιβλίο: 8,90 €

• Χάρακας: 2,40 €

• Σύνολο: 3,50 € + 8,90 € + 2,40 € = 14,80 €

• Υπόλοιπο: 20,00 € − 14,80 € = 5,20 €

8.

• Χυμοί: 2 × 1,20 € = 2,40 €

• Κουλούρια: 3 × 0,80 € = 2,40 €

• Σοκολάτα: 1,50 €

• Σύνολο: 2,40 € + 2,40 € + 1,50 € = 6,30 €

• Υπόλοιπο: 10,00 € − 6,30 € = 3,70 €

9.

• Παπούτσια: 56,00 € − 15,00 € (έκπτωση) = 41,00 €

• Τσάντα: 24,50 €

• Σύνολο: 41,00 € + 24,50 € = 65,50 €

10.

• Εισιτήρια: 4 × 6,50 € = 26,00 €

• Ποπ κορν: 4 × 3,20 € = 12,80 €

• Σύνολο: 26,00 € + 12,80 € = 38,80 €

• Έχει 50,00 € → 50,00 € − 38,80 € = 11,20 € υπόλοιπο (του φτάνουν τα χρήματα).

Διαδραστικές ασκήσεις μαθηματικά α λυκείου στην παραγοντοποίηση

📘 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ – Παραγοντοποίηση

Άσκηση 1: x² - 10x + 21

Βρίσκουμε δύο αριθμούς που αθροίζονται σε -10 και πολλαπλασιάζονται σε 21.

Άσκηση 2: 4x² - 25y²

Διαφορά τετραγώνων: (2x)² - (5y)².

Άσκηση 3: x³ - 8

Διαφορά κύβων: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).

Άσκηση 4: 27a³ + 64b³

Άθροισμα κύβων: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²).

Άσκηση 5: x² + xy - 6y²

Αναζητούμε δύο όρους που το γινόμενό τους είναι -6 και το άθροισμα 1.

Άσκηση 6: 2x² + 5x - 3

Διαδραστικές ερωτήσεις στην παραγοντοποίηση μαθηματικά γ γυμνασίου

📘 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ – Παραγοντοποίηση Πολυωνύμων

Άσκηση 1: Παραγοντοποίησε: x² + 5x

Κοινός παράγοντας: βρίσκουμε το x και το βγάζουμε έξω από την παρένθεση.

Άσκηση 2: Παραγοντοποίησε: 3a²b - 6ab²

Βρίσκουμε τον μέγιστο κοινό παράγοντα 3ab και τον βγάζουμε έξω.

Άσκηση 3: Παραγοντοποίησε: x² - 9

Διαφορά τετραγώνων: a² - b² = (a - b)(a + b).

Άσκηση 4: Παραγοντοποίησε: x² + 6x + 9

Τέλειο τετράγωνο τριών όρων: x² + 2·3·x + 3² = (x+3)².

Άσκηση 5: Παραγοντοποίησε: 2x² - 8x

Κοινός παράγοντας: 2x.

Άσκηση 6: Παραγοντοποίησε: a² - 16b²

Διαφορά τετραγώνων: a² - b² = (a - b)(a + b).

Άσκηση 8: Παραγοντοποίησε: x² + 4x + 4

Τέλειο τετράγωνο: x² + 2·2·x + 2² = (x+2)².

Άσκηση 9: Παραγοντοποίησε: 5m³ - 20m²

Κοινός παράγοντας: 5m².

Άσκηση 10: Παραγοντοποίησε: a² + 7a + 10

Βρίσκουμε δύο αριθμούς που αθροίζονται σε 7 και πολλαπλασιάζονται σε 10: 5 και 2.

Άσκηση 11: Παραγοντοποίησε: 4x² - 9y²

Διαφορά τετραγώνων: (2x)² - (3y)² = (2x - 3y)(2x + 3y).

Άσκηση 12: Παραγοντοποίησε: x³ + 3x²

Κοινός παράγοντας: x².

Διαδραστικές ερωτήσεις στα μονώνυμα μαθηματικά γ γυμνασίου

📘 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ – Κεφάλαιο: Μονώνυμα

Άσκηση 1: Ποιος είναι ο συντελεστής του μονωνύμου -5x;

Ο συντελεστής είναι ο αριθμός που πολλαπλασιάζει το γράμμα. Στο -5x είναι το -5.

Άσκηση 2: Ποιος είναι ο βαθμός του μονωνύμου 3x²y;

Ο βαθμός είναι το άθροισμα των εκθετών: x² → 2, y → 1, άρα 2+1=3.

Άσκηση 3: Είναι το μονώνυμο 7x⁰ σταθερό;

Κάθε μεταβλητή με εκθέτη 0 ισούται με 1. Άρα 7x⁰ = 7 → σταθερό μονώνυμο.

Άσκηση 4: Ποιο είναι το αντίθετο του μονωνύμου -3xy;

Το αντίθετο μονώνυμο έχει ίδιο κυρίως μέρος αλλά αντίθετο πρόσημο στον συντελεστή.

Άσκηση 5: Ποιο είναι το μονώνυμο που έχει βαθμό 4 και συντελεστή -2;

Ο βαθμός είναι ο εκθέτης της μεταβλητής. Συντελεστής είναι ο αριθμός μπροστά.

Άσκηση 6: Ποιο είναι το αποτέλεσμα της πρόσθεσης των μονωνύμων 2x και 5x;

Άσκηση 6: Ποιο είναι το αποτέλεσμα της πρόσθεσης των μονωνύμων 2x και 5x;

Προσθέτουμε μόνο μονώνυμα που είναι ομόμορφα, δηλαδή έχουν ίδιο κυρίως μέρος.

Άσκηση 7: Είναι τα μονώνυμα 4xy και -2yx ομόμορφα;

Τα μονώνυμα είναι ομόμορφα αν έχουν ίδιο κυρίως μέρος, ανεξαρτήτως της σειράς των μεταβλητών.

Άσκηση 8: Ποιο είναι το γινόμενο των μονωνύμων 3x και -2x²;

Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές και προσθέτουμε τους εκθέτες των ίδιων μεταβλητών.

Άσκηση 9: Ποιο είναι το πηλίκο των μονωνύμων 6x³ και 2x;

Διαιρούμε τους συντελεστές και αφαιρούμε τους εκθέτες των ίδιων μεταβλητών.

Άσκηση 10: Ποιο είναι το αντίθετο του μονωνύμου 0,5x²y;

Το αντίθετο μονώνυμο έχει ίδιο κυρίως μέρος αλλά αντίθετο πρόσημο στον συντελεστή.

Άσκηση 11: Ποιος είναι ο βαθμός του μονωνύμου -7x⁴y²z;

Ο βαθμός είναι το άθροισμα των εκθετών: 4+2+1 = 7.

Άσκηση 12: Είναι το μονώνυμο -x⁰ σταθερό;

Κάθε μεταβλητή με εκθέτη 0 ισούται με 1. Άρα -x⁰ = -1 → σταθερό μονώνυμο.

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΆ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΎ ΚΕΦΆΛΑΙΟ 1 ΕΠΑΝΆΛΗΨΗ

📘 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε' ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ – Κεφάλαιο 1: Οι Φυσικοί Αριθμοί

Άσκηση 1: Γράψε με ψηφία τον αριθμό: "Εξήντα τρεις χιλιάδες τετρακόσιοι δώδεκα"

Οι φυσικοί αριθμοί γράφονται με βάση το δεκαδικό σύστημα.

Άσκηση 2: Ποια είναι η αξία του ψηφίου 4 στον αριθμό 84.219;

Η θέση του ψηφίου καθορίζει την αξία του (χιλιάδες, εκατοντάδες κ.λπ.).

Άσκηση 3: Στρογγυλοποίησε τον αριθμό 5.672 στην πλησιέστερη εκατοντάδα.

Άσκηση 4: Ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος: 999.999 ή 1.000.000;

Συγκρίνουμε αριθμούς ξεκινώντας από την υψηλότερη θέση.

Άσκηση 5: Στρογγυλοποίησε τον αριθμό 1.248 στην πλησιέστερη εκατοντάδα.

Αν το ψηφίο της επόμενης θέσης είναι μικρότερο από 5, στρογγυλοποιούμε προς τα κάτω.

Άσκηση 6: Στρογγυλοποίησε τον αριθμό 7.501 στην πλησιέστερη χιλιάδα.

Αν το ψηφίο της επόμενης θέσης είναι 5 ή μεγαλύτερο, στρογγυλοποιούμε προς τα πάνω.

Άσκηση 7: Ποιος αριθμός είναι περιττός;

Οι περιττοί αριθμοί τελειώνουν σε 1, 3, 5, 7 ή 9.

Άσκηση 8: Ποιος αριθμός είναι άρτιος;

Οι άρτιοι αριθμοί τελειώνουν σε 0, 2, 4, 6 ή 8.

Άσκηση 9: Βάλε τους αριθμούς σε αύξουσα σειρά: 45.678 – 12.345 – 78.901 – 9.876 – 56.000

Στην αύξουσα σειρά, ξεκινάμε από τον μικρότερο αριθμό και προχωράμε προς τον μεγαλύτερο.

Άσκηση 10: Ποια πράξη δίνει αποτέλεσμα 120.000;

Για να βρούμε το αποτέλεσμα, προσθέτουμε τους αριθμούς και ελέγχουμε αν ισούνται με το ζητούμενο.

Άσκηση 11: Ποια είναι η αξία του ψηφίου 2 στον αριθμό 84.219;

Η θέση του ψηφίου καθορίζει την αξία του: το 2 βρίσκεται στις εκατοντάδες.

Άσκηση 12: Η Μαρία έχει 12.450 δραχμές και αγοράζει ποδήλατο που κοστίζει 9.980 δραχμές. Πόσα της περισσεύουν;

Για να βρούμε πόσα περισσεύουν, αφαιρούμε το κόστος από το αρχικό ποσό.

Στρογγυλοποιούμε ανάλογα με το ψηφίο της επόμενης θέσης.

Δίδυμοι Πρώτοι Αριθμοί: Τα Γειτονικά Ατομικά Στοιχεία των Μαθηματικών

 

Οι πρώτοι αριθμοί είναι οι θεμέλιοι λίθοι της αριθμητικής: αριθμοί που διαιρούνται μόνο από τον εαυτό τους και το 1. Ανάμεσά τους, υπάρχει μια ιδιαίτερη κατηγορία που γοητεύει μαθηματικούς εδώ και αιώνες — οι δίδυμοι πρώτοι αριθμοί.

👯‍♂️ Τι είναι οι δίδυμοι πρώτοι;

Δίδυμοι πρώτοι είναι δύο πρώτοι αριθμοί που διαφέρουν κατά 2. Δηλαδή, είναι όσο πιο κοντά γίνεται μεταξύ τους χωρίς να είναι ίσοι. Παραδείγματα:

• (3, 5)

• (5, 7)

• (11, 13)

• (17, 19)

• (29, 31)

• (41, 43)

Αυτά τα ζευγάρια εμφανίζονται συχνά στους μικρούς αριθμούς, αλλά όσο προχωράμε σε μεγαλύτερους, οι πρώτοι αριθμοί γίνονται πιο σπάνιοι — και οι δίδυμοι ακόμα πιο δυσεύρετοι.

❓ Η Εικασία των Διδύμων Πρώτων

Η Εικασία των Διδύμων Πρώτων υποστηρίζει ότι υπάρχουν άπειρα τέτοια ζευγάρια. Παρόλο που έχουν βρεθεί εκατομμύρια δίδυμοι πρώτοι, κανείς δεν έχει αποδείξει (ή διαψεύσει) ότι δεν τελειώνουν ποτέ. Είναι ένα από τα μεγαλύτερα ανοιχτά προβλήματα στα μαθηματικά.

Το 2013, ο μαθηματικός Yitang Zhang έκανε μια επαναστατική πρόοδο, αποδεικνύοντας ότι υπάρχουν άπειρα ζευγάρια πρώτων με διαφορά μικρότερη από 70 εκατομμύρια. Από τότε, η διαφορά αυτή μειώθηκε δραστικά, αλλά το "2" παραμένει άπιαστο.

🌿 Υπάρχουν στη φύση;

Οι πρώτοι αριθμοί, και ειδικά οι δίδυμοι, δεν εμφανίζονται άμεσα σε φυσικά φαινόμενα όπως τα κύματα ή η βαρύτητα. Ωστόσο, η δομή τους και η κατανομή τους έχουν εφαρμογές:

• Κρυπτογραφία: Οι πρώτοι αριθμοί είναι η βάση για την ασφάλεια στο διαδίκτυο. Οι δίδυμοι πρώτοι βοηθούν στη δημιουργία ισχυρών κλειδιών.

• Μοτίβα φύσης: Αν και δεν βλέπουμε δίδυμους πρώτους σε λουλούδια ή δέντρα, η ακολουθία των πρώτων εμφανίζεται σε μοντέλα πληθυσμών, γενετικούς κώδικες και θεωρίες πληροφορίας.

• Ηχητικά κύματα και μουσική: Ορισμένοι συνθέτες έχουν πειραματιστεί με πρώτους αριθμούς για να δημιουργήσουν αρμονίες και ρυθμούς που δεν επαναλαμβάνονται.

🧠 Γιατί μας συναρπάζουν;

Οι δίδυμοι πρώτοι είναι απλοί στην κατανόηση αλλά απίστευτα δύσκολοι στην πρόβλεψη. Είναι σαν να ψάχνεις για "κρυμμένα ζευγάρια" μέσα σε ένα άπειρο σύμπαν αριθμών. Η ομορφιά τους βρίσκεται στην αντίθεση: απλότητα στη μορφή, πολυπλοκότητα στη συμπεριφορά.

📌 Συμπέρασμα Οι δίδυμοι πρώτοι είναι κάτι περισσότερο από μαθηματικά — είναι μια υπενθύμιση ότι ακόμα και μέσα στην τάξη των αριθμών, υπάρχει μυστήριο, ομορφιά και ανεξερεύνητο βάθος. Αν η εικασία αποδειχθεί σωστή, θα είναι μια νίκη για την ανθρώπινη λογική. Αν όχι, θα είναι μια νέα αρχή για να κατανοήσουμε καλύτερα το σύμπαν των αριθμών.

Ασκήσεις με δυνάμεις χωρίς κομπιουτεράκι

🔥 Μπορείς να τα λύσεις; 🔥

👉 Υπολόγισε τα παρακάτω, χωρίς κομπιουτεράκι:

$$\frac{(3^{2^2}÷[3^2]{)}^{\frac{3}{2}}}{(3^{3^2}÷[3^3]{)}^{\frac{2}{3}}}$$

$$(5^{2^3}÷[5^2]{)}^{\frac{3}{2}}\cdot (5^{3^2}÷[5^3]{)}^{\frac{1}{3}}$$

$$\frac{(2^{3^2}÷[2^3]{)}^{\frac{1}{2}}}{(2^{2^3}÷[2^2]{)}^{\frac{2}{3}}}$$

$$(7^{2^2}÷[7^2]{)}^{\frac{3}{2}}:(7^{3^2}÷[7^3]{)}^{\frac{1}{3}}$$

💡 Tip: Θυμήσου τους βασικούς κανόνες εκθετών:

• $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

• $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

• $(a^m{)}^n=a^{m\cdot \mathrm{n<strong\; style="display:\; inline\; !important;"><br></strong>}}$

Αμιγή Κλάσματα και Ρητοί Αριθμοί: Μια Ιστορική και Εκπαιδευτική Προσέγγιση

Αμιγή Κλάσματα και Ρητοί Αριθμοί: Μια Ιστορική και Εκπαιδευτική Προσέγγιση

Η μελέτη των αμιγών κλασμάτων—δηλαδή κλασμάτων με αριθμητή τη μονάδα, όπως  1/2, 1/3, 1/5 ...αποτελεί ένα ισχυρό εργαλείο για την κατανόηση των ρητών αριθμών. 

Η απλότητά τους βοηθά τους μαθητές να εστιάσουν στην έννοια του «μέρους του όλου» και να αναπτύξουν αριθμητική διαίσθηση.

Ιστορική Αναδρομή 🏺

Η χρήση των αμιγών κλασμάτων ξεκίνησε στην αρχαία Αίγυπτο, όπου οι μαθηματικοί χρησιμοποιούσαν μόνο κλάσματα με αριθμητή το 1. 

Διαδραστικό κουίζ :Να βρείτε τους x,y,z ώστε 1/x+1/y+1/z=1 μαθηματικά α γυμνασίου

📘 Διαδραστικές Ασκήσεις: Ρητοί Αριθμοί & Αμιγή Κλάσματα

Άσκηση 1: Ποιο είναι μεγαλύτερο;

Επίλεξε το μεγαλύτερο κλάσμα:

1/3
1/4

📘 Θεωρία: Όσο μεγαλύτερος ο παρονομαστής σε αμιγές κλάσμα, τόσο μικρότερη η τιμή του. Άρα 1/3 > 1/4.

Άσκηση 2: Εξίσωση με ρητούς αριθμούς

Δώσε φυσικούς x, y, z ώστε 1/x + 1/y + 1/z = 1:

📘 Θεωρία: Η εξίσωση 1/x + 1/y + 1/z = 1 έχει πεπερασμένες λύσεις με φυσικούς αριθμούς. Π.χ. x=2, y=3, z=6.

Άσκηση 3: Ανισοτική σχέση

Αν 1/a + 1/b > 1, τι μπορείς να πεις για τις τιμές των a και b;

--Επιλογή-- Οι τιμές είναι μικρές Οι τιμές είναι μεγάλες Οι τιμές είναι ίσες

📘 Θεωρία: Όσο μικρότερος ο παρονομαστής, τόσο μεγαλύτερη η τιμή του κλάσματος. Άρα μικρές τιμές → μεγαλύτερο άθροισμα.

🏆 Τελική Βαθμολογία

Διαδραστικό κουίζ μαθηματικά :Γράψε το κλάσμα 5/6 ως άθροισμα δύο κλασμάτων μαθηματικά δημοτικού

Λύση Μαθηματικών Ασκήσεων

Άσκηση 1: Κλάσμα 5/6 ως άθροισμα δύο κλασμάτων

Πρόβλημα: Γράψτε το κλάσμα 5 6 ως άθροισμα δύο κλασμάτων με αριθμητή το ένα.

Άσκηση 2: Εξίσωση 1/x + 1/y + 1/z = 1

Πρόβλημα: Βρείτε φυσικούς x, y, z ώστε 1 x + 1 y + 1 z = 1.