Το θεώρημα του μεθυσμένου

 

Ο όρος "θεώρημα του μεθυσμένου" δεν είναι ένα επίσημο μαθηματικό θεώρημα με αυτό ακριβώς το όνομα. Ωστόσο, πιθανότατα αναφέρεσαι στο "πρόβλημα του μεθυσμένου" ή στην "τυχαία περιπλάνηση" (στα αγγλικά "drunkard's walk problem" ή "random walk"). Αυτή είναι μια πολύ γνωστή ιδέα στην πιθανότητα και τα μαθηματικά, και χρησιμοποιείται για να εξηγήσει πολλά φαινόμενα.

Τι είναι το "Πρόβλημα του Μεθυσμένου";

Φανταστείτε έναν μεθυσμένο που ξεκινάει να περπατάει από μια λάμπα του δρόμου στο κέντρο μιας πόλης. Σε κάθε βήμα, ο μεθυσμένος παίρνει ένα βήμα προς τα εμπρός, πίσω, δεξιά ή αριστερά, με τυχαία κατεύθυνση. Το ερώτημα είναι:

• Θα καταλήξει τελικά ο μεθυσμένος πίσω στη λάμπα;
• Αν ναι, πόσος χρόνος (βήματα) θα χρειαστεί κατά μέσο όρο;
• Πόσο μακριά μπορεί να φτάσει από την λάμπα πριν επιστρέψει;

Διάφορες Διαστάσεις και Παραλλαγές

Το πρόβλημα του μεθυσμένου μπορεί να εξεταστεί σε διάφορες διαστάσεις:

• Μία Διάσταση (1D): Φανταστείτε τον μεθυσμένο να περπατάει μόνο πάνω σε μια γραμμή (προς τα εμπρός ή πίσω).
• Δύο Διαστάσεις (2D): Όπως στην αρχική περιγραφή, σε ένα επίπεδο (προς τα εμπρός, πίσω, δεξιά, αριστερά).
• Τρεις Διαστάσεις (3D): Στο χώρο (προς τα εμπρός, πίσω, δεξιά, αριστερά, πάνω, κάτω).

Βασικά Συμπεράσματα (χωρίς πολύπλοκα μαθηματικά):

• Σε μία και δύο διαστάσεις (1D και 2D), αν ο μεθυσμένος συνεχίσει να περπατάει για αρκετό χρόνο, είναι σχεδόν σίγουρο ότι θα επιστρέψει στο σημείο εκκίνησης του (στη λάμπα). Αυτό είναι ένα κάπως αντι-διαισθητικό αποτέλεσμα!
• Σε τρεις διαστάσεις (3D), δεν είναι σίγουρο ότι ο μεθυσμένος θα επιστρέψει ποτέ. Υπάρχει μια πιθανότητα να περιπλανηθεί για πάντα μακριά από το σημείο εκκίνησης.

Γιατί είναι σημαντικό το "Πρόβλημα του Μεθυσμένου";

Παρόλο που φαίνεται σαν ένα παιχνιδιάρικο σενάριο, το "πρόβλημα του μεθυσμένου" είναι ένα πολύ σημαντικό μοντέλο για πολλά πράγματα στον πραγματικό κόσμο, όπως:

• Κίνηση μορίων: Η τυχαία κίνηση των μορίων σε ένα υγρό ή αέριο (γνωστή ως Βρόχεια κίνηση) μοιάζει πολύ με την τυχαία περιπλάνηση.
• Διάχυση: Η εξάπλωση αρωμάτων, χρωμάτων ή θερμότητας.
• Τιμές μετοχών: Οι διακυμάνσεις των τιμών μετοχών στην αγορά συχνά μοντελοποιούνται με τυχαίες περιπλανήσεις.
• Πολυμερή: Η συμπεριφορά και η διάταξη των μακριών αλυσίδων πολυμερών.
• Αλγόριθμοι και υπολογιστές: Χρησιμοποιείται στην σχεδίαση ορισμένων αλγορίθμων και στην ανάλυση τυχαίων δεδομένων.

Πόλυα Θεώρημα Επανάληψης (Pólya Recurrence Theorem):

Για τους πιο ενδιαφερόμενους στα μαθηματικά, υπάρχει ένα σημαντικό αποτέλεσμα που σχετίζεται με το πρόβλημα του μεθυσμένου, γνωστό ως Θεώρημα Επανάληψης του Πόλυα (Pólya Recurrence Theorem). Αυτό το θεώρημα επιβεβαιώνει με μαθηματική αυστηρότητα αυτό που είπαμε πριν:

• Σε 1D και 2D, η τυχαία περιπλάνηση είναι επανερχόμενη (recurrent), δηλαδή, η πιθανότητα να επιστρέψει ο μεθυσμένος στο σημείο εκκίνησης είναι 1 (ή 100%).
• Σε 3D και πάνω, η τυχαία περιπλάνηση είναι παροδική (transient), δηλαδή, υπάρχει θετική πιθανότητα ο μεθυσμένος να μην επιστρέψει ποτέ.

Συνοψίζοντας:

Το "πρόβλημα του μεθυσμένου" ή "τυχαία περιπλάνηση" δεν είναι ένα θεώρημα με ένα συγκεκριμένο όνομα, αλλά μια θεμελιώδης ιδέα στην πιθανότητα και τα μαθηματικά. Είναι ένα απλό αλλά ισχυρό μοντέλο που μας βοηθά να κατανοήσουμε τυχαία φαινόμενα σε πολλούς τομείς της επιστήμης και της καθημερινής ζωής. Το πιο εντυπωσιακό ίσως είναι το γεγονός ότι σε χαμηλές διαστάσεις, η "τύχη" τελικά ευνοεί την επιστροφή στο σημείο εκκίνησης, ενώ σε υψηλότερες διαστάσεις, η περιπλάνηση μπορεί να γίνει ατελείωτη.

Διασκεδαστικός τρόπος να το θυμάσαι** Ο φυσικός Πολ Έρντος συνήθιζε να περιγράφει ως εξής: *"Ένας μεθυσμένος στην πόλη (2 διαστάσεις) πάντα θα βρει το δρόμο για το σπίτι του. Ένας μεθυσμένος στο διάστημα (3 διαστάσεις) μπορεί να χαθεί για πάντα!"*