Άσκηση με εφαρμογή της βοηθητικής συνάρτησης μαθηματικά γ λυκείου με λύση

Άσκηση

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^2+\dfrac{4}{x}$, με $x>0$.
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της $f(x)$ για $x>0$, χρησιμοποιώντας κατάλληλη βοηθητική συνάρτηση.

Λύση

1. Βοηθητική συνάρτηση: Θεωρούμε τη $f(x)=x^2+\dfrac{4}{x}$, με $x>0$.

2. Παράγωγος:
   $f'(x)=2x-\dfrac{4}{x^2}$.

3. Κρίσιμα σημεία:
   Θέτουμε $f'(x)=0$:
   $2x-\dfrac{4}{x^2}=0 \Rightarrow 2x^3=4 \Rightarrow x^3=2 \Rightarrow x=\sqrt[3]{2}$.

4. Μονοτονία – Έλεγχος ελαχίστου:
   Για $x<\sqrt[3]{2}$, $f'(x)<0$ ⇒ η $f$ είναι φθίνουσα.
   Για $x>\sqrt[3]{2}$, $f'(x)>0$ ⇒ η $f$ είναι αύξουσα.
   Άρα στο $x=\sqrt[3]{2}$ η $f$ παρουσιάζει ελάχιστο (εναλλακτικά, $f''(x)=2+\dfrac{8}{x^3}>0$).

5. Ελάχιστη τιμή:
   $f\!\left(\sqrt[3]{2}\right)=\left(\sqrt[3]{2}\right)^2+\dfrac{4}{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{4}+2\sqrt[3]{4}=3\sqrt[3]{4}$.

Συμπέρασμα:
Η ελάχιστη τιμή της $f(x)$ για $x>0$ είναι $3\sqrt[3]{4}$ και προκύπτει στο $x=\sqrt[3]{2}$.