Ξεκλειδώνουμε τα Μαθηματικά: Ο πιο εύκολος τρόπος να πολλαπλασιάζεις διψήφιους αριθμούς! μαθηματικά Ε δημοτικού

 Γεια σε όλους τους μικρούς και μεγάλους μαθητές! 👋

Έχετε αναρωτηθεί ποτέ αν υπάρχει ένας πιο εύκολος και διασκεδαστικός τρόπος να κάνετε πολλαπλασιασμούς; Ειδικά όταν οι αριθμοί αρχίζουν να μεγαλώνουν; 🤔

Σήμερα, θα σας δείξουμε ένα φανταστικό κόλπο που θα κάνει τον πολλαπλασιασμό παιχνιδάκι! Ξέρουμε ότι το $23\times 14$ μπορεί να ακούγεται... "βουνό", αλλά σας υποσχόμαστε ότι μετά από αυτό, θα το λύνετε με κλειστά μάτια!

Το μυστικό μας; Σπάμε τον έναν αριθμό σε πιο μικρά, εύκολα κομμάτια!

Δες στην εικόνα παρακάτω πώς ακριβώς το κάνουμε βήμα-βήμα, σαν ένα μικρό παζλ:

Βλέπεις; Είναι απλό!

1. Σπάμε το 14 σε 10 και 4.

2. Πολλαπλασιάζουμε το 23 με το 10 (εύκολο, προσθέτουμε ένα μηδενικό!).

3. Πολλαπλασιάζουμε το 23 με το 4.

4. Και τέλος, προσθέτουμε τα "Μερικά Γινόμενα" που βρήκαμε!

Αποτέλεσμα: $322$ 🎉

Δοκίμασέ το και εσύ με άλλους αριθμούς! Θα δεις πόσο πιο γρήγορα και σωστά θα λύνεις τις ασκήσεις σου.

Ποιο είναι το αγαπημένο σου μαθηματικό κόλπο; Πες μας στα σχόλια! 👇

Περίμενε για ακόμα περισσότερες μεθοδολογίες  !

#Μαθηματικά #ΕΔημοτικού #Πολλαπλασιασμός #ΕύκολαΜαθηματικά #Εκπαίδευση #ΜαθαίνωΔιασκεδάζοντας #Σχολείο #Παιδιά #ΜαθηματικάΚόλπα #Δημοτικό #MathHacks #TipsΓιαΜαθηματικά #NewBigBrainsTeam

Η μάθηση συμβαίνει καλύτερα όταν οι μαθητές κατακτούν μόνοι τους τη γνώση

 Είναι εντυπωσιακό το πόσο βαθιά επηρέασε το έργο του Guy Brousseau, "Theory of Didactical Situations in Mathematics" (Θεωρία των Διδακτικών Καταστάσεων στα Μαθηματικά), την παιδαγωγική των μαθηματικών. 

Η Μαθηματική Ιστορία Που Κρύβεται Πίσω Από Κάθε Αριθμό

Η Μαθηματική Ιστορία Που Κρύβεται Πίσω Από Κάθε Αριθμό

Αν ρωτήσεις ένα παιδί τι είναι το 5, πιθανότατα θα σου απαντήσει "πέντε αντικείμενα" ή "ένα ψηφίο". Αν όμως το ρωτήσεις, "Ποια ιστορία κρύβει ο αριθμός 5;", θα του δώσεις μια εντελώς νέα διάσταση. Αντί να βλέπουμε τους αριθμούς ως ψυχρά σύμβολα, μπορούμε να τους δούμε ως πρωταγωνιστές σε μια ατελείωτη αφήγηση.

Τα μαθηματικά στα παιδιά του δημοτικού: Μια πρώτη προσέγγιση

 

Η διδασκαλία των μαθηματικών σε παιδιά δημοτικού μπορεί να είναι μια πρόκληση, αλλά και μια πολύ ευχάριστη διαδικασία. Ο στόχος είναι να τα βοηθήσουμε να αγαπήσουν τους αριθμούς και να κατανοήσουν τη χρησιμότητά τους στην καθημερινή ζωή. Αντί να τα βλέπουμε ως μια σειρά από αφηρημένες πράξεις, μπορούμε να τα παρουσιάσουμε ως ένα παιχνίδι, μια ιστορία ή ένα μυστήριο που περιμένει να λυθεί.

Ξεκινώντας με τα Βασικά: Το Παιχνίδι των Αριθμών

Τυποποιημένα ολοκληρώματα ή αλλιώς ολοκλήρωση χωρίς τη μέθοδο αντικατάστασης μαθηματικά γ λυκείου

Η φράση «Τυποποιημένα Ολοκληρώματα (Πότε είναι αχρείαστη η Αντικατάσταση)» αναφέρεται σε ολοκληρώματα που έχουν συγκεκριμένη, αναγνωρίσιμη μορφή. Για την επίλυσή τους, η μέθοδος της αντικατάστασης, ενώ μπορεί να εφαρμοστεί, δεν είναι απαραίτητη. Αυτό συμβαίνει επειδή τα ολοκληρώματα αυτά είναι άμεσης εφαρμογής, δηλαδή η λύση τους προκύπτει απευθείας από τους βασικούς κανόνες ολοκλήρωσης.

Τι είναι η Αντικατάσταση και πότε χρησιμοποιείται;

Η μέθοδος της αντικατάστασης είναι ένα ισχυρό εργαλείο για την επίλυση ολοκληρωμάτων που δεν είναι άμεσα επιλύσιμα. Βασίζεται στον κανόνα της αλυσίδας της παραγώγισης και στοχεύει στη μετατροπή ενός πιο σύνθετου ολοκληρώματος σε μια απλούστερη μορφή.

Παράδειγμα όπου η αντικατάσταση είναι απαραίτητη:
Έστω το ολοκλήρωμα:

$$\int 2x(x^2+1)^3 dx$$

Εδώ, η άμεση ολοκλήρωση δεν είναι εφικτή. Θέτουμε

$$u=x^2+1$$

Τότε, το διαφορικό της νέας μεταβλητής είναι

$$du=2x dx$$

Αντικαθιστώντας, παίρνουμε:

$$\int u^3 du$$

Η λύση είναι:

$$\int u^3 du = \frac{u^4}{4}+c$$

Επιστρέφοντας στην αρχική μεταβλητή, έχουμε την τελική λύση:

$$\frac{(x^2+1)^4}{4}+c$$

Πότε είναι Αχρείαστη η Αντικατάσταση;

Η αντικατάσταση είναι αχρείαστη όταν το ολοκλήρωμα είναι της μορφής

$$\int f'(x)[f(x)]^n dx \quad \text{ή} \quad \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx$$

Σε αυτές τις περιπτώσεις, ο παράγοντας $f'(x)$ βρίσκεται ήδη μέσα στο ολοκλήρωμα.

Παραδείγματα όπου η αντικατάσταση είναι αχρείαστη:

• Ολοκλήρωμα της μορφής $$\int f'(x)[f(x)]^n dx$$ Έστω το ολοκλήρωμα: $$\int 2x(x^2+1)^3 dx$$ . Εδώ, $f(x)=x^2+1$ και $f'(x)=2x$. Η λύση προκύπτει απευθείας από τον κανόνα: $$\int f'(x)[f(x)]^n dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1}+c$$ . Άρα, η λύση είναι: $$\frac{(x^2+1)^{3+1}}{3+1}+c = \frac{(x^2+1)^4}{4}+c$$
• Ολοκλήρωμα της μορφής $$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx$$ Έστω το ολοκλήρωμα: $$\int \frac{2x}{x^2+1} dx$$ . Εδώ, $f(x)=x^2+1$ και $f'(x)=2x$. Η λύση προκύπτει από τον κανόνα: $$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)|+c$$ . Άρα, η λύση είναι: $$\ln|x^2+1|+c$$

Συμπερασματικά

Η φράση αυτή τονίζει ότι η αναγνώριση της μορφής ενός ολοκληρώματος είναι εξίσου σημαντική με την εφαρμογή τεχνικών. Η εξοικείωση με αυτές τις τυποποιημένες μορφές επιτρέπει την ταχύτερη και πιο άμεση επίλυση, παρακάμπτοντας τα βήματα της αντικατάστασης.

Είναι ώρα να αλλάξεις το παιχνίδι στα Μαθηματικά 🚀

                     

Γιατί είναι τα Μαθηματικά τόσο δύσκολα για τις κοπέλες;

Αυτό το ερώτημα είναι ένας από τους μεγαλύτερους μύθους που υπάρχουν στην εκπαίδευση. Η αλήθεια είναι ότι δεν υπάρχει καμία βιολογική ή γνωστική διαφορά που να κάνει τα αγόρια καλύτερα στα μαθηματικά από τα κορίτσια. Ο λόγος που νιώθεις ότι τα μαθηματικά είναι δύσκολα δεν είναι επειδή δεν έχεις το ταλέντο, αλλά επειδή κανείς δεν σου έδειξε την πραγματική τους αξία.

Τα μαθηματικά δεν είναι μια συλλογή από αφηρημένους τύπους. Είναι ένα εργαλείο που σε βοηθά να κατανοήσεις τον κόσμο γύρω σου, να λύνεις προβλήματα και να δημιουργείς.

Μια νέα οπτική: Δες τα Μαθηματικά με διαφορετικό μάτι

Αντί να βλέπεις τα μαθηματικά ως μια αγγαρεία, προσπάθησε να τα δεις ως μια γλώσσα που μπορεί να σου δώσει νέες δυνατότητες.

• Μαθηματικά και Τέχνη: . Η χρυσή αναλογία, για παράδειγμα, χρησιμοποιείται εδώ και αιώνες στη ζωγραφική και την αρχιτεκτονική για να δημιουργεί αρμονία και ομορφιά. Στην πραγματικότητα, η τέχνη είναι γεμάτη γεωμετρία και συμμετρία!

• Μαθηματικά και Καριέρα: Στον κόσμο της τεχνολογίας, οι γυναίκες είναι πρωτοπόροι. Δημιουργούν εφαρμογές, αναπτύσσουν τεχνητή νοημοσύνη και σχεδιάζουν βιντεοπαιχνίδια. Όλα αυτά βασίζονται στα μαθηματικά.

• Μαθηματικά και Καθημερινότητα: Όταν υπολογίζεις τα ποσοστά για τις εκπτώσεις, όταν μαγειρεύεις ακολουθώντας μια συνταγή ή όταν σχεδιάζεις τον προϋπολογισμό σου, χρησιμοποιείς μαθηματικά.

Τα μαθηματικά είναι παντού και σε βοηθούν να παίρνεις πιο έξυπνες αποφάσεις.

Τι μπορείς να κάνεις για να βελτιωθείς

1. Άλλαξε τη νοοτροπία σου. Σταμάτα να λες "δεν μπορώ" και πες "θα προσπαθήσω".

2. Ψάξε την εφαρμογή. Όταν μαθαίνεις έναν νέο τύπο, αναρωτήσου: "Πού μπορώ να το χρησιμοποιήσω στην πραγματική ζωή;"

3. Μην ντρέπεσαι να κάνεις λάθη. Τα λάθη είναι μέρος της μάθησης. Ο μεγαλύτερος μαθηματικός στον κόσμο έχει κάνει άπειρα λάθη πριν φτάσει στην επιτυχία.

4. Βρες ένα πρότυπο. Αναζήτησε γυναίκες που έχουν διαπρέψει στα μαθηματικά και τις επιστήμες, όπως η Maryam Mirzakhani, η πρώτη γυναίκα που κέρδισε το Μετάλλιο Fields. Η ιστορία τους μπορεί να σε εμπνεύσει.

Το ταξίδι στα μαθηματικά δεν είναι μια ευθεία γραμμή. Είναι γεμάτο στροφές, ανηφόρες και κατηφόρες. Αυτό που έχει σημασία είναι να συνεχίζεις να περπατάς. Και να θυμάσαι: έχεις όλες τις δυνατότητες για να πετύχεις. Το μόνο που χρειάζεσαι είναι να πιστέψεις στον εαυτό σου.

Εξισώσεις με προβλήματα μαθηματικά β γυμνασίου

NEW BIG BRAIN'S TEAM

1. Να βρεθεί ένας αριθμός, που αν το επταπλάσιό του ελαττωθεί κατά το μισό του, δίνει τον αριθμό αυξημένο κατά 22.

Να βρεθεί ένας αριθμός, που αν το επταπλάσιό του ελαττωθεί κατά το μισό του, δίνει τον αριθμό αυξημένο κατά 22.

• Θέσε x τον αριθμό.
• Εξίσωση: $7x - x/2 = x + 22$
• Λύσε για x.

2. Ποιόν αριθμό πρέπει να προσθέσουμε στον αριθμητή του 5/2 για να βρούμε τον αριθμό ελαττωμένο κατά 1/2;

Ποιόν αριθμό πρέπει να προσθέσουμε στον αριθμητή του 5/2 για να βρούμε τον αριθμό ελαττωμένο κατά 1/2;

• Θέσε x τον αριθμό που πρέπει να προσθέσουμε.
• Εξίσωση: $(5+x)/2 = 5 - 1/2$
• Λύσε για x.

3. Ένας πατέρας είναι 34 χρονών και ο γιος του 13. Μετά πόσα χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι διπλάσια της ηλικίας του γιου;

Ένας πατέρας είναι 34 χρονών και ο γιος του 13. Μετά πόσα χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι διπλάσια της ηλικίας του γιου; (π.χ. 8 χρόνια)

• Θέσε x τα χρόνια που θα περάσουν.
• Εξίσωση: $34+x = 2(13+x)$
• Λύσε για x.

4. Ένας πατέρας μοίρασε 120€ στα τρία παιδιά του. Ο πρώτος πήρε 20€ περισσότερα από τον δεύτερο και ο τρίτος το ένα τρίτο των χρημάτων του πρώτου. Πόσα χρήματα πήρε ο καθένας;

Ένας πατέρας μοίρασε 120€ στα τρία παιδιά του. Ο πρώτος πήρε 20€ περισσότερα από τον δεύτερο και ο τρίτος το ένα τρίτο των χρημάτων του πρώτου. Πόσα χρήματα πήρε ο καθένας; (π.χ. 60,40,20)

• Θέσε x τα χρήματα του δεύτερου.
• Πρώτος: $x+20$, Τρίτος: $(x+20)/3$
• Εξίσωση: $x + (x+20) + (x+20)/3 = 120$
• Λύσε για x και βρες τα ποσά.

5. Το άθροισμα της ηλικίας δύο αδελφών είναι 10 χρόνια. Να βρεθούν οι ηλικίες τους αν ξέρουμε ότι μετά δύο χρόνια η ηλικία του ενός θα είναι τα 4/3 της ηλικίας του άλλου.

Το άθροισμα της ηλικίας δύο αδελφών είναι 10 χρόνια. Να βρεθούν οι ηλικίες τους αν ξέρουμε ότι μετά δύο χρόνια η ηλικία του ενός θα είναι τα 4/3 της ηλικίας του άλλου. (π.χ. 4,6)

• Θέσε x την ηλικία του ενός και $10 - x$ του άλλου.
• Μετά 2 χρόνια: $x + 2$ και $12 - x$
• Εξίσωση: $x + 2 = (4/3)(12 - x)$
• Λύσε για x και βρες τις ηλικίες.

6. Σε μία θεατρική παράσταση πήγαν 129 γονείς και παιδιά και πλήρωσαν συνολικά 1710€. Αν ο κάθε γονιός πλήρωσε 15€ και το κάθε παιδί 10€, να βρείτε πόσοι ήταν οι γονείς και πόσα τα παιδιά.

Σε μία θεατρική παράσταση πήγαν 129 γονείς και παιδιά και πλήρωσαν συνολικά 1710€. Αν ο κάθε γονιός πλήρωσε 15€ και το κάθε παιδί 10€, να βρείτε πόσοι ήταν οι γονείς και πόσα τα παιδιά. (π.χ. 84,45)

• Θέσε x τους γονείς και $129 - x$ τα παιδιά.
• Εξίσωση: $15x + 10(129 - x) = 1710$
• Λύσε για x και βρες τα πλήθη.

7. Ο Γιάννης αμείβεται με 5€ την ώρα παραπάνω από τον Νίκο. Αν ο Γιάννης δουλέψει 12 ώρες και ο Νίκος 20 ώρες, τότε ο Νίκος θα πάρει 60€ περισσότερα από τον Γιάννη. Να βρείτε το ωρομίσθιό του καθενός.

Ο Γιάννης αμείβεται με 5€ την ώρα παραπάνω από τον Νίκο. Αν ο Γιάννης δουλέψει 12 ώρες και ο Νίκος 20 ώρες, τότε ο Νίκος θα πάρει 60€ περισσότερα από τον Γιάννη. Να βρείτε το ωρομίσθιό του καθενός. (π.χ. 20,15)

• Θέσε x το ωρομίσθιο του Νίκου. Τότε του Γιάννη είναι $x+5$.
• Εξίσωση: $20x - 12(x+5) = 60$
• Λύσε για x και βρες τα ωρομίσθια.

8. Δύο αδέλφια έχουν συνολικά 100€. Αν ο μεγαλύτερος δώσει στον μικρότερο 20€, τότε θα έχουν από ίσα χρήματα. Πόσα χρήματα έχει το κάθε παιδί;

Δύο αδέλφια έχουν συνολικά 100€. Αν ο μεγαλύτερος δώσει στον μικρότερο 20€, τότε θα έχουν από ίσα χρήματα. Πόσα χρήματα έχει το κάθε παιδί; (π.χ. 70,30)

• Θέσε x τα χρήματα του μεγαλύτερου. Του μικρότερου είναι $100-x$.
• Εξίσωση: $x - 20 = (100-x) + 20$
• Λύσε για x και βρες τα ποσά.

9. Αν στην ηλικία μου προσθέσεις 5 και το άθροισμα το διαιρέσεις με το 4 και από το πηλίκο αφαιρέσεις το 1/5 της ηλικίας μου θα βρεις 2. Ποια είναι η ηλικία μου;

Αν στην ηλικία μου προσθέσεις 5 και το άθροισμα το διαιρέσεις με το 4 και από το πηλίκο αφαιρέσεις το 1/5 της ηλικίας μου θα βρεις 2. Ποια είναι η ηλικία μου; (π.χ. 15)

• Θέσε x την ηλικία μου.
• Εξίσωση: $(x+5)/4 - x/5 = 2$
• Λύσε για x.

10. Ένας πατέρας είναι 36 χρόνια μεγαλύτερος από την κόρη του. Πριν από 10 χρόνια η ηλικία του πατέρα ήταν τετραπλάσια της ηλικίας της κόρης. Να βρείτε τις σημερινές ηλικίες τους.

Ένας πατέρας είναι 36 χρόνια μεγαλύτερος από την κόρη του. Πριν από 10 χρόνια η ηλικία του πατέρα ήταν τετραπλάσια της ηλικίας της κόρης. Να βρείτε τις σημερινές ηλικίες τους. (π.χ. 58,22)

• Θέσε x την ηλικία της κόρης. Τότε του πατέρα είναι $x+36$.
• Πριν 10 χρόνια: $x-10$ και $(x+36)-10 = x+26$.
• Εξίσωση: $x+26 = 4(x-10)$
• Λύσε για x και βρες τις ηλικίες.

11. Σε μία εκδρομή οι άνδρες ήταν τριπλάσιοι των γυναικών. Μετά από την αναχώρηση τεσσάρων ανδρών μετά των συζύγων τους, έμειναν επταπλάσιοι άνδρες των γυναικών. Πόσοι ήταν οι άνδρες και πόσες οι γυναίκες;

Σε μία εκδρομή οι άνδρες ήταν τριπλάσιοι των γυναικών. Μετά από την αναχώρηση τεσσάρων ανδρών μετά των συζύγων τους, έμειναν επταπλάσιοι άνδρες των γυναικών. Πόσοι ήταν οι άνδρες και πόσες οι γυναίκες; (π.χ. 18,6)

• Θέσε x τις γυναίκες. Οι άνδρες είναι $3x$.
• Μετά την αναχώρηση: γυναίκες $x-4$, άνδρες $3x-4$.
• Εξίσωση: $3x-4 = 7(x-4)$
• Λύσε για x και βρες τα πλήθη.

12. Δύο αριθμοί έχουν άθροισμα 50. Αν από τα 2/3 του μεγαλύτερου, αφαιρέσουμε τα 5/7 του μικρότερου βρίσκουμε 14. Να βρείτε τους αριθμούς.

Δύο αριθμοί έχουν άθροισμα 50. Αν από τα 2/3 του μεγαλύτερου, αφαιρέσουμε τα 5/7 του μικρότερου βρίσκουμε 14. Να βρείτε τους αριθμούς. (π.χ. 36,14)

• Θέσε x τον μεγαλύτερο αριθμό και $50-x$ τον μικρότερο.
• Εξίσωση: $(2/3)x - (5/7)(50-x) = 14$
• Λύσε για x και βρες τους αριθμούς.

13. Ένας χρυσοχόος έχει δύο κράματα αργύρου. Το πρώτο έχει τίτλο 0,900 και το δεύτερο 0,850. Θέλει να κάνει ένα νέο κράμα βάρους 50g με τίτλο 0,880. Πόσα γραμμάρια πρέπει να πάρει από το καθένα από τα αρχικά κράματα;

Ένας χρυσοχόος έχει δύο κράματα αργύρου. Το πρώτο έχει τίτλο 0,900 (δηλαδή 900 σε άργυρο) και το δεύτερο 0,850. Θέλει να κάνει ένα νέο κράμα βάρους 50g με τίτλο 0,880. Πόσα γραμμάρια πρέπει να πάρει από το καθένα από τα αρχικά κράματα; (π.χ. 30g,20g)

• Θέσε x τα γραμμάρια από το 1ο κράμα. Τα γραμμάρια του 2ου είναι $50-x$.
• Εξίσωση: $0.900x + 0.850(50-x) = 0.880(50)$
• Λύσε για x και βρες τα γραμμάρια.

14. Να βρεθούν οι γωνίες ενός τριγώνου ΑΒΓ, αν η γωνία Α είναι ίση με το μισό της γωνίας Γ και η γωνία Β είναι μεγαλύτερη από την γωνία Α κατά 20°.

Να βρεθούν οι γωνίες ενός τριγώνου ΑΒΓ, αν η γωνία Α είναι ίση με το μισό της γωνίας Γ και η γωνία Β είναι μεγαλύτερη από την γωνία Α κατά 20°. (π.χ. 50,30,100)

• Θέσε x τη γωνία Γ. Τότε η γωνία Α είναι $x/2$ και η Β είναι $x/2 + 20$.
• Εξίσωση: $x + x/2 + (x/2 + 20) = 180$
• Λύσε για x και βρες τις γωνίες.

15. Η συνδρομή για την συμμετοχή στον όμιλο κολύμβησης είναι 15€ τον μήνα και 5€ για κάθε φορά που χρησιμοποιούμε την πισίνα. Αν τον προηγούμενο μήνα πληρώσαμε 75€, πόσες φορές χρησιμοποιήσαμε την πισίνα;

Η συνδρομή για την συμμετοχή στον όμιλο κολύμβησης είναι 15€ τον μήνα και 5€ για κάθε φορά που χρησιμοποιούμε την πισίνα. Αν τον προηγούμενο μήνα πληρώσαμε 75€, πόσες φορές χρησιμοποιήσαμε την πισίνα; (π.χ. 12)

• Αφαίρεσε την μηνιαία συνδρομή από το συνολικό ποσό: $75 - 15 = 60$.
• Διαίρεσε το υπόλοιπο με το κόστος ανά χρήση: $60 / 5 = 12$.

Για περισσότερα tips και ενδιαφέρον περιεχόμενο, ακολουθήστε μας στα social media:

Facebook Instagram Email

Ερωτήσεις θεωρίας από θέματα που έχουν πέσει στο παρελθόν μαθηματικά α γυμνασίου

Το παρόν αρχείο είναι προσφορά της ομάδας Big Brain's Team.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... από εξετάσεις

ΘΕΜΑ 1: Χαρακτηρίστε με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ)

α) Για να προσθέσουμε δυο ομώνυμα κλάσματα, προσθέτουμε τους αριθμητές και παρονομαστή αφήνουμε τον ίδιο.

Σωστό Λάθος

β) Όταν αφαιρούμε δυο ετερώνυμα κλάσματα που οι αριθμητές τους είναι ο ίδιος αριθμός, το αποτέλεσμα είναι πάντα ίσο με το μηδέν.

Σωστό Λάθος

γ) Δυο κλάσματα που έχουν άθροισμα λέγονται αντίστροφα.

Σωστό Λάθος

δ) Η πρόσθεση κλασμάτων είναι προσεταιριστική.

Σωστό Λάθος

ε) Το γινόμενο δύο ομώνυμων κλασμάτων είναι ένα κλάσμα με αριθμητή το γινόμενο των αριθμητών και παρονομαστή τον ίδιο παρονομαστή.

Σωστό Λάθος

ζ) Το 1/3 του 90 είναι 30.

Σωστό Λάθος

ΘΕΜΑ 3: Επιλέξτε τη σωστή απάντηση

1. Ο κύβος του αριθμού 2 είναι

2³
3²
2²

2. Στην ισότητα 42 · ☐ = 42000, ο αριθμός στο κουτάκι είναι

10²
10³
10⁵

3. Η παράσταση α · α · α · β · β είναι ίση με

3·α+2·β
α³ + β²
α³ · β²

4. Ο αριθμός 3·5² διαιρείται

με το 2
με το 3
με το 9

5. Ο αριθμός (2²+3)² ισούται με

36
49
72

6. Η παράσταση (2+5)² είναι ίση με

2²+5²
7²
2² · 5²

7. Το αποτέλεσμα της διαίρεσης 4/5 / 2/3 είναι:

8/15
6/5
15/8

ΘΕΜΑ 5: Συμπληρώστε τα κενά

Α) Ένα κλάσμα που δεν απλοποιείται άλλο λέγεται ..............

Β) Δύο κλάσματα που έχουν ίδιο παρονομαστή λέγονται ......

Γ) Δύο κλάσματα που έχουν διαφορετικό παρονομαστή λέγονται .................

Ε) Ένα κλάσμα είναι ίσο με 1 αν ο αριθμητής του είναι ............ με τον παρονομαστή.

Στ) Ένα κλάσμα είναι μικρότερο του 1 αν ο αριθμητής του είναι ............ από τον παρονομαστή.

Ζ) Ένα κλάσμα είναι μεγαλύτερο του 1 αν ο αριθμητής του είναι ............ από τον παρονομαστή.

Η) Η απόλυτη τιμή ενός θετικού αριθμού είναι ο ...................

Θ) Ο αριθμός των διακεκομμένων γραμμών που υπάρχουν στο φύλλο εργασίας είναι ....................

Σωστές Απαντήσεις

ΘΕΜΑ 1

α) Σωστό

β) Λάθος

γ) Λάθος

δ) Σωστό

ε) Λάθος

ζ) Σωστό

ΘΕΜΑ 3

1. (i) 2³

2. (ii) 10³

3. (iii) α³ · β²

4. (ii) με το 3

5. (ii) 49

6. (ii) 7²

7. (ii) 6/5

ΘΕΜΑ 5

Α) ανάγωγο

Β) ομώνυμα

Γ) ετερώνυμα

Ε) ίσος

Στ) μικρότερος

Ζ) μεγαλύτερος

Η) ίδιος ο αριθμός

Θ) 0

[3_3008] "Διαγώνισμα - 4 Πράξεις & Κλάσματα μαθηματικά α γυμνασίου"

ΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΙΝΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΗΣ ΟΜΑΔΑΣ

Big Brain's Team - Η ομάδα των επιτυχιών!

Επαναληπτικό Διαγώνισμα - Αριθμητικές Παραστάσεις και Δυνάμεις

Ονοματεπώνυμο: ___________________

ΜΕΡΟΣ Α: Υπολογισμός Παραστάσεων

Άσκηση 1

Δίνονται οι παραστάσεις: A = [10 - (-5) + 3] * 2 - (15 - 3 * 4) και B = (15 - 5 * 2) / ((-2)^2 + 20 / 4)
α. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων Α και Β.

ΜΕΡΟΣ Β: Πράξεις με Κλάσματα και Απλοποιήσεις

Άσκηση 2

Δίνονται οι παραστάσεις: A = 1/2 + 3/4 - 1/8 και B = 5/6 * 3/4 / 1/2
α. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων Α και Β.

ΜΕΡΟΣ Γ: Αντικατάσταση & Απόλυτες Τιμές

Άσκηση 3

Δίνονται οι παραστάσεις: K = α^2 + 2αβ + β^2 και Λ = |2α - β| - |4β| + 100
β. Αν α= -2 και β= 3, να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων Κ και Λ.

ΜΕΡΟΣ Δ: Σύγκριση Αριθμών

Άσκηση 4

Αν Α = 1/3, Β = 5/6 και Γ = 1/2, να διατάξετε τους αριθμούς Α, Β, Γ από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο χρησιμοποιώντας σχετικό σύμβολο ανισότητας.

Αποτελέσματα Υποβολής

×

Σημαντικά Στοιχεία Θεωρίας

1. **Προτεραιότητα Πράξεων:**

• Πρώτα εκτελούμε τις πράξεις μέσα στις **παρενθέσεις** και τις **αγκύλες**.
• Μετά τις **δυνάμεις** (εκθέτες).
• Μετά τους **πολλαπλασιασμούς** και τις **διαιρέσεις**, με τη σειρά που εμφανίζονται.
• Τέλος, τις **προσθέσεις** και τις **αφαιρέσεις**, με τη σειρά που εμφανίζονται.

2. **Πράξεις με Κλάσματα:**

• Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε, πρέπει να έχουν τον **ίδιο παρονομαστή**.
• Για να τα συγκρίνουμε, τα ανάγουμε στον ίδιο παρονομαστή.
• Διαίρεση: Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο κλάσμα με τον **αντίστροφο** του δεύτερου.

3. **Απόλυτη Τιμή:**

• Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι η απόστασή του από το μηδέν στην αριθμογραμμή.
• Είναι πάντα ένας **θετικός** αριθμός. |x| = x αν x >= 0 και |x| = -x αν x < 0.

[2_3008] Επαναληπτικό διαγώνισμα στους πραγματικούς αριθμούς μαθηματικά α γυμνασίου

ΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΙΝΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΤΗΣ ΟΜΑΔΑΣ

Big Brain's Team - Η ομάδα των επιτυχιών!

Επαναληπτικό Διαγώνισμα - Πραγματικοί Αριθμοί

Ονοματεπώνυμο: ___________________

ΜΕΡΟΣ Α: Ερωτήσεις Θεωρίας

Ερώτηση 1

Να δώσετε τον ορισμό των **ρητών** αριθμών.

Ερώτηση 2

Ποιο είναι το αποτέλεσμα της τετραγωνικής ρίζας του √x²;

Ερωτήσεις Σωστό-Λάθος

Ερώτηση 3

Το άθροισμα δύο άρρητων αριθμών είναι πάντα άρρητος.

Σωστό Λάθος

Ερώτηση 4

Κάθε ακέραιος αριθμός είναι και ρητός.

Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής

Ερώτηση 5

Ποια από τις παρακάτω ισότητες είναι σωστή;

A. √(a²+b²) = a+b B. √a · √b = √(a·b) C. √a² = a

Ερώτηση 6

Ποιος αριθμός είναι άρρητος;

A. √9 B. 3/4 C. π

Ερώτηση 7

Ποια ιδιότητα ισχύει για τους πραγματικούς αριθμούς;

A. Απαγορεύεται η διαίρεση με το μηδέν. B. Η αφαίρεση είναι αντιμεταθετική. C. Ο πολλαπλασιασμός δεν είναι προσεταιριστικός.

ΜΕΡΟΣ Β: Ασκήσεις

Άσκηση 1

Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: A = √25 + √100 - √4

Άσκηση 2

Να κάνετε τις πράξεις: B = (2√3)² + √2 · √8

Άσκηση 3

Να απλοποιήσετε την παράσταση: Γ = 5(3 - x) - 2x + 1

Άσκηση 4

Υπολογίστε: Δ = √81 / √9 - √(16/25)

Αποτελέσματα & Λύσεις:

×

Σημαντικά Στοιχεία Θεωρίας

1. **Ρητοί Αριθμοί:** Είναι οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν ως κλάσμα δύο ακεραίων, με τον παρονομαστή να είναι διάφορος του μηδενός.

2. **Άρρητοι Αριθμοί:** Είναι οι αριθμοί που δεν μπορούν να γραφούν ως κλάσμα. Έχουν άπειρα μη περιοδικά δεκαδικά ψηφία. Π.χ. τετραγωνική ρίζα του 2 (√2), π.

3. **Πραγματικοί Αριθμοί:** Είναι το σύνολο των ρητών και των άρρητων αριθμών. Καλύπτουν ολόκληρη την αριθμογραμμή.

4. **Ιδιότητες Τετραγωνικής Ρίζας:**

• Τετραγωνική ρίζα του (α επί β) = Τετραγωνική ρίζα του α επί τετραγωνική ρίζα του β
• Τετραγωνική ρίζα του (α διά β) = Τετραγωνική ρίζα του α διά τετραγωνική ρίζα του β
• Τετραγωνική ρίζα του (χ στο τετράγωνο) = Απόλυτη τιμή του χ