"Φίλοι αριιθμοί " και "Κοινωνικοί αριθμοί"

 

O Fermat ένας ερασιτέχνης λάτρης των μαθηματικών, νομικός στο επάγγελμα αποδεικνύει για μία ακόμη φορά πως με τα μαθηματικά και τους αριθμούς γενικότερα μπορεί να ασχοληθεί ο κάθε άνθρωπος που σκέφτεται και προβληματίζεται επί παντός επιστητού. Γιατί τα μαθηματικά δεν είναι τίποτε περισσότερο ή λιγότερο από την αντανάκλαση της αντικειμενικής πραγματικότητας στο μυαλό του ανθρώπου.

Ο Fermat εκτός από το γνωστό θεώρημα που φέρει το όνομά του και ταλαιπώρησε τους μαθηματικούς επί 300 χρόνια έκανε άλλες ανακαλύψεις. Μία από αυτές αναφερόταν, στους αριθμούς που
ονομάζονται φίλοι αριθμοί ή αγαπητοί και σχετίζοντας με τους τέλειους αριθμούς που είχαν συνεπάρει τον Πυθαγόρα. Πρόκειται για ζευγάρια αριθμών στα οποία ο καθένας ισούται με το άθροισμα των διαιρετών του άλλου.

Οι Πυθαγόρειοι είχαν κάνει την καταπληκτική ανακάλυψη ότι οι αριθμοί 220 και 284 είναι φίλοι. Οι διαιρέτες του 220 είναι οι αριθμοί 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 45, 110 και το άθροισμα τους είναι 284, αντίστοιχα οι αριθμοί 1, 2, 4, 71, 142 είναι διαιρέτες του 284
και έχουν άθροισμα 220. Ελέγετο ότι το ζευγάρι αυτό αποτελεί σύμβολο φιλίας.

Μέχρι το 1636, που ο Fermat ανακάλυψε το ζευγάρι 17.296 και το 18.416, δεν είχαν βρεθεί άλλοι φίλοι αριθμοί. Παρόλο που η ανακάλυψη αυτή δεν ήταν βαθυστόχαστη, δείχνει την οικειότητα που είχε ο Fermat µε τους αριθμούς και την αγάπη του να παίζει µαζί τους. Ο Fermat ξεκίνησε τη µανία της εύρεσης φίλων αριθµών, ο DESCARTES (Ντεκάρτ) ανακάλυψε το τρίτο ζευγάρι (9.363.584 και 9.437.056) και ο EULER (Οϊλερ) πρόσθεσε στον κατάλογο εξήντα δύο αγαπητά ζευγάρια. Κατά έναν περίεργο τρόπο, όλοι αυτοί είχαν παραβλέψει ένα πολύ µικρότερο ζευγάρι φίλων αριθµών: το 1866 ο δεκαεξάχρονος Ιταλός Νικολό Παγκανίνι (Nicolo Paganini) ανακάλυψε το ζευγάρι 1.184 και 1.210. Τον 20ο αιώνα οι επιστήµονες έδωσαν νέες κατευθύνσεις στην ιδέα αυτή και έψαξαν για τους αποκαλούµενους "κοινωνικούς" αριθµούς, τρεις ή περισσότεροι, δηλαδή, αριθµοί, οι οποίοι αποτελούν έναν κλειστό βρόχο. Για παράδειγµα, στο βρόχο των πέντε παρακάτω αριθµών (12.496, 14.288, 15.472, 14536, 14.264) οι διαιρέτες του πρώτου αριθµού προστιθέµενοι δίνουν τον δεύτερο, οι διαιρέτες του δεύτερου τον τρίτο, οι διαιρέτες του τρίτου τον τέταρτο, οι διαιρέτες του τέταρτου τον πέµπτο και οι διαιρέτες του πέµπτου τον πρώτο.