Υποδειγματική άσκηση με Θ.Μ.Κ.Ε φυσική λυκείου

BB

New Team Big Brains

Ενεργειακά εργαλεία στη Μηχανική – Μαθηματική Αισθητική

Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας – Άσκηση με σχήμα και αναλυτική λύση.

Θεωρία – Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας

Σ Διατύπωση

Το Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας (Θ.Μ.Κ.Ε.) λέει ότι:

ΔΚ = Κ₂ − Κ₁ = ΣW

Δηλαδή η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σώματος είναι ίση με το ολικό έργο των δυνάμεων που ασκούνται πάνω του κατά τη μετατόπιση.

Άσκηση – Θ.Μ.Κ.Ε. σε οριζόντιο επίπεδο

Α Εκφώνηση

Ένα σώμα μάζας m = 2 kg κινείται σε οριζόντιο, λείο επίπεδο. Τη χρονική στιγμή t = 0 έχει ταχύτητα v₁ = 2 m/s. Από τη στιγμή αυτή και για μια μετατόπιση s = 5 m, ασκείται στο σώμα σταθερή οριζόντια δύναμη F = 6 N, με ίδια διεύθυνση και φορά με την ταχύτητα.

Να βρείτε:

1. την τελική ταχύτητα v₂ του σώματος, χρησιμοποιώντας μόνο το Θ.Μ.Κ.Ε.,
2. το έργο της δύναμης F και τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας,
3. αν η μηχανική ενέργεια του σώματος αυξάνεται ή μειώνεται και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Σχήμα 1 – Κίνηση σε οριζόντιο, λείο επίπεδο

Το σώμα κινείται σε οριζόντιο, λείο επίπεδο. Η δύναμη F και η μετατόπιση s έχουν την ίδια διεύθυνση και φορά με την κίνηση.

Πληροφορίες από το σχήμα:

• Το επίπεδο είναι λείο → δεν υπάρχουν τριβές.
• Η δύναμη F είναι οριζόντια και σταθερή.
• Η μετατόπιση s έχει ίδια φορά με τη δύναμη.

Χρησιμοποιήστε τα δεδομένα του σχήματος για να εφαρμόσετε το Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας.

Λ Λύση – Αναλυτικά βήματα

1. Επιλογή εργαλείου – Χρήση Θ.Μ.Κ.Ε.

Θέλουμε να βρούμε την τελική ταχύτητα v₂. Αντί να χρησιμοποιήσουμε κινηματικές εξισώσεις, δουλεύουμε με το Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας:

ΔΚ = Κ₂ − Κ₁ = ΣW

Σε οριζόντιο, λείο επίπεδο, η μόνη δύναμη που παράγει έργο στην κίνηση είναι η F (αγνοούμε βάρος και αντίδραση, γιατί είναι κάθετες στη μετατόπιση). Άρα:

ΔΚ = W_F

2. Αρχική κινητική ενέργεια K₁

Κινητική ενέργεια: K = 1/2 · m · v².

Αρχική ταχύτητα: v₁ = 2 m/s, μάζα m = 2 kg.

Άρα:

K₁ = 1/2 · 2 · (2)² = 1 · 4 = 4 J

3. Έργο της δύναμης W_F

Η δύναμη F = 6 N είναι σταθερή και παράλληλη στη μετατόπιση s = 5 m. Το έργο σταθερής δύναμης δίνεται από:

W = F · s · cosφ

Εδώ η γωνία είναι φ = 0°, άρα cos0° = 1:

W_F = F · s = 6 · 5 = 30 J

Το έργο της δύναμης είναι θετικό, άρα η δύναμη «δίνει» ενέργεια στο σώμα.

4. Εφαρμογή Θ.Μ.Κ.Ε. – Υπολογισμός της v₂

Από το θεώρημα:

ΔΚ = K₂ − K₁ = W_F

Αντικαθιστούμε:

K₂ − 4 = 30

Άρα:

K₂ = 34 J

Αλλά:

K₂ = 1/2 · m · v₂² = 1/2 · 2 · v₂² = v₂²

Επομένως:

v₂² = 34 ⇒ v₂ = √34 ≈ 5,8 m/s

Η τελική ταχύτητα είναι περίπου 5,8 m/s.

5. Μεταβολή κινητικής ενέργειας ΔK

Υπολογίζουμε τη μεταβολή:

ΔK = K₂ − K₁ = 34 − 4 = 30 J

Παρατηρούμε ότι:

ΔK = W_F = 30 J

Δηλαδή η μεταβολή της κινητικής ενέργειας είναι ίση με το έργο της δύναμης, όπως ακριβώς προβλέπει το Θ.Μ.Κ.Ε.

6. Σχόλιο για τη μηχανική ενέργεια

Το σώμα κινείται σε οριζόντιο, λείο επίπεδο, άρα δεν υπάρχει τριβή και δεν έχουμε απώλειες μηχανικής ενέργειας σε θερμότητα.

Επίσης, δεν αλλάζει η βαρυτική δυναμική ενέργεια, αφού το σώμα δεν ανεβαίνει ούτε κατεβαίνει σε ύψος. Η μηχανική ενέργεια του σώματος εδώ ταυτίζεται πρακτικά με την κινητική του ενέργεια.

Βρήκαμε ότι η κινητική ενέργεια αυξάνεται από 4 J σε 34 J. Άρα η μηχανική ενέργεια του σώματος αυξάνεται, επειδή η εξωτερική δύναμη F εκτελεί θετικό έργο και «τροφοδοτεί» το σώμα με ενέργεια.

Παιδαγωγική ιδέα: μπορεί να ζητηθεί από τους μαθητές να συγκρίνουν τη λύση με Θ.Μ.Κ.Ε. με μία λύση μέσω δεύτερου νόμου του Νεύτωνα και κινηματικών εξισώσεων, ώστε να αναδειχθεί η δύναμη του ενεργειακού εργαλείου.

New Team Big Brains – Ενεργειακά εργαλεία στη Μηχανική