Μάθετε για το ISBN και Θεωρία της Κωδικοποίησης ΙΣΟΔΥΝΑΜΊΕΣ μαθηματικά

΄Ολα τα ϐιβλία στο πίσω µέρος του εξωφύλλου τους έχουν τον συµβολισµό ISBN ο οποίος σηµαίνει International Standard Book

Number και ακολουθείται από έναν δεκαψήφιο αριθµό χωριζόµενο σε τέσσερα µέρη από τρεις παύλες ¨-¨. Ο αριθµός αυτός χαρακτηρίζει τη συγκεκριµένη έκδοση. Το πρώτο µέρος χαρακτηρίζει τη χώρα έκδοσης. Για τις ΗΠΑ είναι το µηδέν για τη Γερµανία το τρία, την Ινδία το 81 κοκ. Το δεύτερο µέρος χαρακτηρίζει τον εκδοτικό οίκο. ΄Ετσι ο διεθνούς ϕηµισµένος οίκος έκδοσης µαϑηµατικών ϐιβλίων ο Springer χαρακτηρίζεται από τον αριθµό 540. Το τρίτο µέρος χαρακτηρίζει τη συγκεκριµένη έκδοση. Για παράδειγµα το ϐιβλίο των Martin Aigner και Gunter M. Ziegler, ¨ Proofs from the Book, χαρακτηρίζεται από τον αριθµό 40460. Τι παριστάνει όµως το τέταρτο µέρος το αριθµού ; Πρόκειται για ένα ψηφίο ελέγχου της ορθότητας των προηγουµένων. Αν τα πρώτα 9 ψηφία του αριθµού είναι τα a1, a2, . . . , a9, τότε το a10 ορίζεται από την ισοδυναµία :

ή ισοδύναµα

Αν, για παράδειγµα, τα πρώτα 9 ψηφία του αριθµού είναι 3-540-40460-, τότε το τελευταίο ψηφίο ελέγχου ϑα είναι 

a10 ≡ 13 + 2 · 5 + 3 · 4 + 4 · 0 + 5 · 4 + 6 · 0 + 7 · 4 + 8 · 6 + 9 · 0 ≡ 3 + 10 + 12 + 5 + 54 + 7 + 18 ≡ 0mod11. ΄Αρα a10 = 0. 

Αν τώρα έχουµε τον αριθµό 3 − 540 − 19102 τότε

a10 ≡ 1 · 3 + 2 · 5 + 3 · 4 + 4 · 0 + 5 · 1 + 6 · 9 + 7 · 1 + 8 · 0 + 9 · 2 = 3 + 10 + 12 + 5 + 54 + 7 + 18 ≡ 10mod11.

 Επειδή ο 10 είναι διψήφιος στην τελευταία ϑέση του ISBN µπαίνει το γράµµα «X», ISBN 3-540- 19102-X.

Αν υποθέσουµε ότι κατά την εκτύπωση στο ISBN έχει γίνει ακριβώς ένα λάθος, τότε αυτό εύκολα ανιχνεύεται, αφού αν υποθέσουµε ότι στη ϑέση του aj µπήκε κάποιο άλλο ψηφίο a ′ j , τότε αν γράψουµε a ′ j = aj + b, (−9 ≤ b ≤), έχουµε

Επειδή 11 ∤ j, 11 ∤ b έπεται ότι :

το οποίο σηµαίνει ότι το λάθος έχει ανιχνευθεί.

Παρατηρήσεις : 

1. Είµαστε σε ϑέση να ανιχνεύσουµε ένα το πολύ λάθος, δεν είµαστε όµως σε ϑέση να το διορθώσουµε. 

2. Εύκολα ϐλέπουµε επίσης ότι µπορούµε να ανιχνεύσουµε την ύπαρξη αντιµετάθεσης µεταξύ δύο διαφορετικών µεταξύ τους ψηφίων του ISBN (άσκηση). 

3. Το ISBN αποτελεί ένα απλό παράδειγµα ενός γενικότερου κλάδου των Μαθηµατικών ο οποίος ασχολείται µε την ανίχνευση και διόρθωση λαθών τα οποία δηµιουργούνται κυρίως κατά τη µεταφορά ενός µηνύµατος µέσω ενός καναλιού και λέγεται «Θεωρία της Κωδικοποίησης». 

4. Υπάρχει και ISBN για την ηλεκτρονική έκδοση ϐιβλίων το οποίο αρχίζει µε 978 και έχει συνολικά 13 ψηφία.