Λυμένη άκηση στη κινηματική φυσικής με τη βοήθεια παραγώγων

 ΕΚΦΏΝΗΣΗ

Τα υλικά σημεία κινούνται σύμφωνα με τις εξισώσεις:

x1 = A1+B1t+C1t2, x1 = A2+B2t+C21t2 m, А1 = 10 m, А2 = 1 m,  В1 = 2 m/s, В2 = 8 m/s,С1 = 2 m/s2  С2 = 0,5 м/s3.

Σε ποια χρονική στιγμή οι ταχύτητες αυτών των σημείων θα είναι ίδιες; Προσδιορίστε τις ταχύτητες v1 και v2 και τις επιταχύνσεις a1 και a2 των σημείων σε αυτό το χρονικό σημείο.

ΛΎΣΗ

Ας ορίσουμε εκφράσεις για την εύρεση των ταχυτήτων v1 και v2. Για να γίνει αυτό, παίρνουμε τις παραγώγους των συντεταγμένων ως προς το χρόνο:

(1),

Αν εξισώσουμε τις ταχύτητες v1 =v2 και λύσοουμε ως προς τον χρόνο θα πάρουμε :

Αντικαθιστώντας τα αριθμητικά δεδομένα, παίρνουμε: t = 2 s.

Τέλος αν αντικατάστήσουμε τον παραπάνω χρόνο στις ταχύτητες θα βρούμε ότι  έχουμε: v1 = v2 = 10 m/s.

β)Ας ορίσουμε εκφράσεις για την εύρεση των επιταχύνσεων a1 και a2. Για να γίνει αυτό, παίρνουμε τις δεύτερες παραγώγους συντεταγμένων ως προς το χρόνο ή τις πρώτες παραγώγους ταχυτήτων ως προς το χρόνο:

Αντικαθιστώντας τα αριθμητικά δεδομένα, έχουμε:

а1 = 4 m/с^2, , а2 = 1 m/с^2.