Κομψή απόδειξη ότι ο αριθμός \/2 είναι άρρητος,

🧠 NTBB

Απόδειξη: Η \( \sqrt{2} \) είναι Άρρητος Αριθμός contradiction

📘 Περιγραφή της απόδειξης με άτοπο

Η απόδειξη βασίζεται στη μέθοδο του άτοπου: υποθέτουμε ότι \( \sqrt{2} \) είναι ρητός και οδηγούμαστε σε αντίφαση. Χρησιμοποιούμε την έννοια του ελάχιστου φυσικού αριθμού και έξυπνους αλγεβρικούς χειρισμούς για να κατασκευάσουμε μικρότερο πολλαπλάσιο που παραβιάζει την ελαχιστικότητα.

🔢 Βήματα της απόδειξης

1️⃣ Υποθέτουμε ότι \( \sqrt{2} \in \mathbb{Q} \).

2️⃣ Έστω \[ k = \min\{\, N \in \mathbb{N} : N\sqrt{2} \in \mathbb{N} \,\}. \] Δηλαδή το \(k\sqrt{2}\) είναι ακέραιος και το \(k\) είναι το ελάχιστο τέτοιο \(N\).

3️⃣ Εξετάζουμε: \[ k(\sqrt{2} - 1)\sqrt{2} = 2k - k\sqrt{2}. \] Εφόσον \(k\sqrt{2}\) είναι ακέραιος και \(2k\) ακέραιος, το αποτέλεσμα είναι επίσης ακέραιος.

4️⃣ Παρατηρούμε ότι \[ k(\sqrt{2} - 1) < k, \] άρα βρήκαμε μικρότερο φυσικό αριθμό από το \(k\) που το γινόμενο του με \( \sqrt{2} \) είναι ακέραιο — κάτι που αντιβαίνει στην ελαχιστικότητα του \(k\).

5️⃣ Συμπέρασμα: \[ \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}. \]

✨ Γιατί είναι κομψή αυτή η απόδειξη

• Δεν χρησιμοποιεί την κλασική μορφή \( \frac{a}{b} \) με αμοιβαία πρώτους.
• Βασίζεται στην έννοια του ελάχιστου φυσικού αριθμού και στην αντίφαση.
• Είναι σύντομη, σαφής και αλγεβρικά καθαρή.
• Ιδανική για να καλλιεργεί σκέψη γύρω από την ελαχιστικότητα και τις κατασκευές.

© New Team Big Brains — Branded math blocks για καθαρή σκέψη και έξυπνη παρουσίαση.