Λυμένη εκθετική άσκηση με μεθοδολογία άλγεβρα β λυκείου

Μαθηματική Επίλυση

Εκφώνηση:
Να λυθεί η εξίσωση: $$(x^2 - 11x + 29)^{6x^2 + x - 2} = 1$$

Λύση

Η εξίσωση είναι της μορφής \([f(x)]^{g(x)} = 1\). Εξετάζουμε τρεις περιπτώσεις:

1. Ο εκθέτης είναι μηδέν (\(g(x) = 0\))

Λύνουμε την εξίσωση \(6x^2 + x - 2 = 0\).
Με διακρίνουσα \(\Delta = 49\), προκύπτουν οι ρίζες: $$x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = -\frac{2}{3}$$ (Δεκτές, αφού δεν μηδενίζουν τη βάση).

2. Η βάση είναι μονάδα (\(f(x) = 1\))

$$x^2 - 11x + 29 = 1 \implies x^2 - 11x + 28 = 0$$ Οι ρίζες είναι: $$x_3 = 7, \quad x_4 = 4$$

3. Η βάση είναι \(-1\) (\(f(x) = -1\))

$$x^2 - 11x + 29 = -1 \implies x^2 - 11x + 30 = 0$$ Οι ρίζες είναι \(x = 5\) και \(x = 6\).

• Για \(x = 5\): Ο εκθέτης είναι \(153\) (περιττός) → Απορρίπτεται.
• Για \(x = 6\): Ο εκθέτης είναι \(220\) (άρτιος) → Δεκτή.

Τελικό Σύνολο Λύσεων: \(x \in \left\{ -\frac{2}{3}, \frac{1}{2}, 4, 6, 7 \right\}\)