Προτεινόμενη άσκηση στον ολοκληρωτικό λογισμό και για μαθηματικά γ λυκείου προσανατολισμού

Άσκηση 1 – Συνάρτηση μέσα στο ολοκλήρωμά της

Γ’ Λυκείου • Συναρτήσεις • Διαφορικός & Ολοκληρωτικός Λογισμός

BIG BRAIN
ΑΚΑΔΗΜΙΑ

Δίνεται συνεχής συνάρτηση \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) με

\( F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\,dt \)

και \( f(x)=xF(x)+e^{F(x)}. \)

Να αποδείξετε ότι:

1. Η \( f \) είναι γνησίως αύξουσα.
2. Η εξίσωση \( f(x)=0 \) έχει το πολύ μία ρίζα.
3. Υπάρχει μοναδικό \( x_0>0 \) τέτοιο ώστε \( \displaystyle\int_{0}^{x_0} f(t)\,dt = 1. \)

Λύση

1. Απόδειξη ότι η \( f \) είναι γνησίως αύξουσα.

Έχουμε \( F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\,dt \Rightarrow F'(x)=f(x) \) (Θεμελιώδες Θεώρημα Ολοκληρωτικού Λογισμού).

Από τη σχέση \( f(x)=xF(x)+e^{F(x)} \) προκύπτει ότι για κάθε \( x\in\mathbb{R} \):
\( f(x)\ge e^{F(x)}>0 \) (αφού \( e^{F(x)}>0 \) για κάθε πραγματικό \( F(x) \)).

Άρα \( f(x)>0 \Rightarrow F'(x)>0 \), οπότε η \( F \) είναι γνησίως αύξουσα.

Παραγωγίζουμε τη σχέση \( f(x)=xF(x)+e^{F(x)} \):
\( f'(x)=F(x)+xF'(x)+e^{F(x)}F'(x)=F(x)+(x+e^{F(x)})f(x). \)

Για κάθε \( x \), έχουμε \( f(x)>0 \) και, επειδή η \( F \) είναι γνησίως αύξουσα με \( F(0)=0 \), ισχύει \( F(x)\ge 0 \) για \( x\ge 0 \) και \( F(x)\le 0 \) για \( x\le 0 \).

Το άθροισμα \( F(x)+(x+e^{F(x)})f(x) \) είναι θετικό, διότι ο όρος \( (x+e^{F(x)})f(x) \) είναι κυρίαρχος και θετικός (με \( f(x)>0 \) και \( e^{F(x)}>0 \)), ενώ ο \( F(x) \) δεν αρκεί για να αλλάξει το πρόσημο.

Συνεπώς \( f'(x)>0 \) για κάθε \( x\in\mathbb{R} \) και άρα η \( f \) είναι γνησίως αύξουσα.

2. Η εξίσωση \( f(x)=0 \) έχει το πολύ μία ρίζα.

Αφού η \( f \) είναι γνησίως αύξουσα, είναι 1–1 (μονότονη χωρίς «επιστροφές»).

Αν υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο ρίζες \( x_1<x_2 \) με \( f(x_1)=f(x_2)=0 \), τότε, λόγω γνησίως αύξουσας συμπεριφοράς, θα έπρεπε
\( f(x_1)<f(x_2) \), άτοπο.

Άρα η εξίσωση \( f(x)=0 \) έχει το πολύ μία ρίζα.

3. Ύπαρξη και μοναδικότητα \( x_0>0 \) με \( \displaystyle\int_{0}^{x_0} f(t)\,dt = 1 \).

Ορίζουμε \( G(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\,dt \). Τότε \( G'(x)=f(x)>0 \) για κάθε \( x \), άρα η \( G \) είναι γνησίως αύξουσα.

Επιπλέον, \( G(0)=0 \). Επειδή \( f(x)>0 \) για \( x>0 \), έχουμε \( G(x)>0 \) για κάθε \( x>0 \) και \( \lim_{x\to +\infty}G(x)=+\infty \) (η θετική συνάρτηση ολοκληρώνεται σε άπειρο διάστημα).

Άρα η συνεχής και γνησίως αύξουσα \( G \) παίρνει όλες τις τιμές του διαστήματος \( (0,+\infty) \) ακριβώς μία φορά.

Επομένως, υπάρχει μοναδικό \( x_0>0 \) τέτοιο ώστε \( G(x_0)=1 \), δηλαδή \( \displaystyle\int_{0}^{x_0} f(t)\,dt = 1. \)

Συμπέρασμα: Η δομή της σχέσης \( f(x)=xF(x)+e^{F(x)} \) «κλειδώνει» το πρόσημο και τη μονοτονία της \( f \), και μέσω της \( G(x)=\int_0^x f \) εξασφαλίζει μοναδικότητα τόσο στη ρίζα όσο και στο σημείο όπου το ολοκλήρωμα γίνεται 1.