Κάθε άσκηση συνδυάζει μέγιστη–ελάχιστη τιμή και παράμετρο. Οι λύσεις δίνονται σε ξεχωριστό άρθρο (link στο τέλος).
1ο Έστω f(x) = 3 ημχ + 4 συνχ + λ. Να βρεθούν οι τιμές του λ ∈ ℝ ώστε η εξίσωση f(x) = 7 να έχει τουλάχιστον μία λύση στο [0, 2π).
2ο Έστω g(x) = ημ²χ – 3 ημχ + α. Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε η εξίσωση g(x) = 0 να έχει ακριβώς δύο λύσεις στο [0, π].
3ο Έστω h(x) = 2 συν 2χ + (λ – 1) ημχ – λ. Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η εξίσωση h(x) = 0 να έχει λύση στο [π/6, 5π/6].
4ο Έστω φ(x) = √(7 – 5 ημχ). Να βρεθεί το ελάχιστο και το μέγιστο της φ στο [0, 2π) και να λυθεί η εξίσωση φ(x) = m όταν α) m = 2, β) m = √3.
5ο Έστω ψ(x) = ημχ + συνχ + ημχ συνχ. Να βρεθεί το range της ψ στο [0, π/2] και να λυθεί η εξίσωση ψ(x) = κ για κ = ½.
6ο Έστω F(x) = (λ – 2) ημχ + (2λ + 1) συνχ. Να βρεθεί το ελάχιστο και το μέγιστο της F σε συνάρτηση με το λ και να προσδιοριστεί ο συνολικός αριθμός των λύσεων της F(x) = 5 στο [0, 2π) ανάλογα με το λ.
7ο Έστω G(x) = 4 ημ³χ – 3 ημχ + μ. Να βρεθούν οι τιμές του μ ώστε η εξίσωση G(x) = 0 να έχει τουλάχιστον μία λύση στο [0, π/2].
8ο Έστω H(x) = εφχ + συνχ/ημχ + λ (όπου x ∈ (0, π/2)). Να βρεθεί το ελάχιστο της H και να λυθεί η εξίσωση H(x) = 4.
9ο Έστω K(x) = ημχ + λ συνχ + λ². Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η εξίσωση K(x) = 0 να μην έχει καμία λύση στο [0, π].
10ο Έστω L(x) = (ημχ + συνχ)² + α(ημχ + συνχ) + β. Να βρεθούν οι παράμετροι α, β ∈ ℝ ώστε η εξίσωση L(x) = 0 να έχει ακριβώς τέσσερις λύσεις στο [0, 2π) και το μέγιστο της L στο ίδιο διάστημα να ισούται με 8.
Λύσεις και αναλυτική μεθοδολογία στο επόμενο άρθρο: εδώ
Εκφώνηση:
Να λυθεί η εξίσωση:
$$(x^2 - 11x + 29)^{6x^2 + x - 2} = 1$$
Λύση
Η εξίσωση είναι της μορφής \([f(x)]^{g(x)} = 1\). Εξετάζουμε τρεις περιπτώσεις:
1. Ο εκθέτης είναι μηδέν (\(g(x) = 0\))
Λύνουμε την εξίσωση \(6x^2 + x - 2 = 0\).
Με διακρίνουσα \(\Delta = 49\), προκύπτουν οι ρίζες:
$$x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = -\frac{2}{3}$$
(Δεκτές, αφού δεν μηδενίζουν τη βάση).
Οι παρακάτω 10 ερωτήσεις επέκτασης δεν ζητούν απλώς λύση,
αλλά βοηθούν τον μαθητή να σκεφτεί πιο βαθιά τις εξισώσεις α΄ βαθμού:
πώς αλλάζουν, πότε έχουν λύση, πώς συνδέονται με την καθημερινότητα.
Q1 – Γενίκευση
Στην εξίσωση 2x + 5 = 17, αν το 5 το αντικαταστήσουμε
με έναν αριθμό k, πώς θα επηρεαστεί η λύση;
Q2 – Αλλαγή συντελεστή
Στην εξίσωση 3x = 12, τι θα συμβεί στη λύση αν
διπλασιάσουμε τον συντελεστή του x;
Q3 – Ίδια λύση
Η εξίσωση x − 4 = 10 έχει λύση x = 14.
Μπορείς να δημιουργήσεις μια άλλη εξίσωση που να έχει την ίδια λύση;
Q4 – Χωρίς λύση
Πότε μια εξίσωση της μορφής ax = bδεν έχει λύση;
Δώσε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.
Q5 – Άπειρες λύσεις
Πότε μια εξίσωση της μορφής ax = b έχει
άπειρες λύσεις; Γράψε ένα παράδειγμα και εξήγησε.
Q6 – Έλεγχος λύσης
Αν λύσεις την εξίσωση 5x + 2 = 17, ποια
πράξη ελέγχου θα κάνεις για να βεβαιωθείς ότι η λύση είναι σωστή;
Q7 – Ίσες προσθέσεις
Πώς αλλάζει η λύση της εξίσωσης x + 8 = 20 αν
προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό και στα δύο μέλη; Εξηγείσε με λόγια.
Q8 – Μηδενικό αποτέλεσμα
Μπορείς να εξηγήσεις γιατί η εξίσωση 7x = 0 έχει
πάντα λύση, ανεξάρτητα από το 7;
Q9 – Δυσκολότερη εκδοχή
Αν η εξίσωση 4x − 6 = 10 γίνει πιο «δύσκολη»
αλλάζοντας μόνο έναν αριθμό, ποιον θα άλλαζες και γιατί;
Q10 – Καθημερινή κατάσταση
Περιέγραψε μια καθημερινή κατάσταση (π.χ. χρήματα, απόσταση, χρόνο)
που μπορεί να γραφτεί ως εξίσωση α΄ βαθμού.
Ποια θα ήταν η εξίσωση;
Στο σχήμα φαίνεται τετράπλευρο ABCD.
Το τρίγωνο ABC είναι ορθογώνιο με ορθή γωνία στο C.
Δίνονται: AB = 5, AC = 3, BD = 7.
Το BC είναι κάθετο στο AD.
Να βρείτε το μήκος του CD.
