Ψηφιακό εργαστήριο ταυτοτήτων κυρίως για μαθητές με ΔΕΠΥ μαθηματικά γ γυμνασίου

Εργαστήριο Ταυτοτήτων 🧬

Επίλεξε την απάντηση και πάτα "Έλεγχος"

Οπτικός Οδηγός: (α + β)²

α²

αβ

αβ

β²

α² + 2αβ + β²

Άσκηση 1

🏆 Το μάθημα ολοκληρώθηκε!

 

New Team Big Brains

Το παράδοξο με τις άπειρες και τις… καμία λύσεις

Υπάρχει ένα παράδοξο που κάθε μαθητής συναντά, αλλά λίγοι καταλαβαίνουν πραγματικά.

Πώς γίνεται μια εξίσωση να έχει άπειρες λύσεις και ταυτόχρονα… καμία;

Η απάντηση κρύβεται σε μια λεπτομέρεια που οι περισσότεροι προσπερνούν: όταν “εξαφανιστούν” τα x, αυτό που μένει αποκαλύπτει όλη την αλήθεια.

Αν καταλήξεις σε μια αληθινή πρόταση, όπως

2x + 6 = 2x + 6

τότε η εξίσωση ισχύει για κάθε αριθμό. Άπειρες λύσεις.

Αν όμως καταλήξεις σε κάτι ψευδές, όπως

6 = 7

τότε δεν υπάρχει κανένας αριθμός που να την ικανοποιεί. Καμία λύση.

Μικρές λεπτομέρειες. Μεγάλη διαφορά. Τα μαθηματικά δεν είναι δύσκολα — απλώς θέλουν καθαρό βλέμμα.

Γι’ αυτό το “παράδοξο” δεν είναι μαγεία· είναι καθαρή άλγεβρα.

10 Ασκήσεις Τριγωνομετρίας με ανεβασμένου δείκτης δυσκολίας άλγεβρα β λυκείου

 

10 Ασκήσεις Τριγωνομετρίας Ανεβασμένου Επιπέδου

Μια προσφορά της ομάδας New Big Brain's Team

Κάθε άσκηση συνδυάζει μέγιστη–ελάχιστη τιμή και παράμετρο. Οι λύσεις δίνονται σε ξεχωριστό άρθρο (link στο τέλος).

1ο Έστω f(x) = 3 ημχ + 4 συνχ + λ. Να βρεθούν οι τιμές του λ ∈ ℝ ώστε η εξίσωση f(x) = 7 να έχει τουλάχιστον μία λύση στο [0, 2π).

2ο Έστω g(x) = ημ²χ – 3 ημχ + α. Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε η εξίσωση g(x) = 0 να έχει ακριβώς δύο λύσεις στο [0, π].

3ο Έστω h(x) = 2 συν 2χ + (λ – 1) ημχ – λ. Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η εξίσωση h(x) = 0 να έχει λύση στο [π/6, 5π/6].

4ο Έστω φ(x) = √(7 – 5 ημχ). Να βρεθεί το ελάχιστο και το μέγιστο της φ στο [0, 2π) και να λυθεί η εξίσωση φ(x) = m όταν α) m = 2, β) m = √3.

5ο Έστω ψ(x) = ημχ + συνχ + ημχ συνχ. Να βρεθεί το range της ψ στο [0, π/2] και να λυθεί η εξίσωση ψ(x) = κ για κ = ½.

6ο Έστω F(x) = (λ – 2) ημχ + (2λ + 1) συνχ. Να βρεθεί το ελάχιστο και το μέγιστο της F σε συνάρτηση με το λ και να προσδιοριστεί ο συνολικός αριθμός των λύσεων της F(x) = 5 στο [0, 2π) ανάλογα με το λ.

7ο Έστω G(x) = 4 ημ³χ – 3 ημχ + μ. Να βρεθούν οι τιμές του μ ώστε η εξίσωση G(x) = 0 να έχει τουλάχιστον μία λύση στο [0, π/2].

8ο Έστω H(x) = εφχ + συνχ/ημχ + λ (όπου x ∈ (0, π/2)). Να βρεθεί το ελάχιστο της H και να λυθεί η εξίσωση H(x) = 4.

9ο Έστω K(x) = ημχ + λ συνχ + λ². Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η εξίσωση K(x) = 0 να μην έχει καμία λύση στο [0, π].

10ο Έστω L(x) = (ημχ + συνχ)² + α(ημχ + συνχ) + β. Να βρεθούν οι παράμετροι α, β ∈ ℝ ώστε η εξίσωση L(x) = 0 να έχει ακριβώς τέσσερις λύσεις στο [0, 2π) και το μέγιστο της L στο ίδιο διάστημα να ισούται με 8.

---

Λύσεις και αναλυτική μεθοδολογία στο επόμενο άρθρο: εδώ

Λυμένη εκθετική άσκηση με μεθοδολογία άλγεβρα β λυκείου

Μαθηματική Επίλυση

Εκφώνηση:
Να λυθεί η εξίσωση: $$(x^2 - 11x + 29)^{6x^2 + x - 2} = 1$$

Λύση

Η εξίσωση είναι της μορφής \([f(x)]^{g(x)} = 1\). Εξετάζουμε τρεις περιπτώσεις:

1. Ο εκθέτης είναι μηδέν (\(g(x) = 0\))

Λύνουμε την εξίσωση \(6x^2 + x - 2 = 0\).
Με διακρίνουσα \(\Delta = 49\), προκύπτουν οι ρίζες: $$x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = -\frac{2}{3}$$ (Δεκτές, αφού δεν μηδενίζουν τη βάση).

2. Η βάση είναι μονάδα (\(f(x) = 1\))

$$x^2 - 11x + 29 = 1 \implies x^2 - 11x + 28 = 0$$ Οι ρίζες είναι: $$x_3 = 7, \quad x_4 = 4$$

3. Η βάση είναι \(-1\) (\(f(x) = -1\))

$$x^2 - 11x + 29 = -1 \implies x^2 - 11x + 30 = 0$$ Οι ρίζες είναι \(x = 5\) και \(x = 6\).

• Για \(x = 5\): Ο εκθέτης είναι \(153\) (περιττός) → Απορρίπτεται.
• Για \(x = 6\): Ο εκθέτης είναι \(220\) (άρτιος) → Δεκτή.

Τελικό Σύνολο Λύσεων: \(x \in \left\{ -\frac{2}{3}, \frac{1}{2}, 4, 6, 7 \right\}\)

'Ασκηση τριγωνομετρίας μαθηματικά β γυμνασίου

 

ΕΚΦΏΝΗΣΗ

Από την κορυφή ενός πύργου ύψους 90 μ, η γωνία  ενός αυτοκινήτου στο έδαφος είναι 30°. Βρείτε την οριζόντια απόσταση του αυτοκινήτου από τον πύργο.

Ασκήσεις και απαντήσεις στις ερωτήσεις επέκτασης (συμπληρωματικό αρχείο ) πάνω στις εξισώσεις μαθηματικά α γυμνασίου

 Σε προηγούμενη ανάρτήσή μας είχαμε παρουσιάσει  με τίτλο "

Ερωτήσεις Επέκτασης – Εξισώσεις Α΄ Βαθμού "  .

Στο σημερίνό άρθρο παρουσι΄ζαουμε  και ένα συμπληρωματικό αρχείο με τις ερωτήσεις και τις απαντήσεις στις ερωτήσεις επέκτασης.

Για να δείτε και να το κατεβέσετε πατήστε εδώ

Ερωτήσεις Επέκτασης – Εξισώσεις Α΄ Βαθμού

 

NT

New Team Big Brains

Ερωτήσεις Επέκτασης – Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου

Θεματική: Εξισώσεις Α΄ βαθμού

Επίπεδο: Α΄ Γυμνασίου

Οι παρακάτω 10 ερωτήσεις επέκτασης δεν ζητούν απλώς λύση, αλλά βοηθούν τον μαθητή να σκεφτεί πιο βαθιά τις εξισώσεις α΄ βαθμού: πώς αλλάζουν, πότε έχουν λύση, πώς συνδέονται με την καθημερινότητα.

Q1 – Γενίκευση

Στην εξίσωση 2x + 5 = 17, αν το 5 το αντικαταστήσουμε με έναν αριθμό k, πώς θα επηρεαστεί η λύση;

Q2 – Αλλαγή συντελεστή

Στην εξίσωση 3x = 12, τι θα συμβεί στη λύση αν διπλασιάσουμε τον συντελεστή του x;

Q3 – Ίδια λύση

Η εξίσωση x − 4 = 10 έχει λύση x = 14. Μπορείς να δημιουργήσεις μια άλλη εξίσωση που να έχει την ίδια λύση;

Q4 – Χωρίς λύση

Πότε μια εξίσωση της μορφής ax = b δεν έχει λύση; Δώσε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.

Q5 – Άπειρες λύσεις

Πότε μια εξίσωση της μορφής ax = b έχει άπειρες λύσεις; Γράψε ένα παράδειγμα και εξήγησε.

Q6 – Έλεγχος λύσης

Αν λύσεις την εξίσωση 5x + 2 = 17, ποια πράξη ελέγχου θα κάνεις για να βεβαιωθείς ότι η λύση είναι σωστή;

Q7 – Ίσες προσθέσεις

Πώς αλλάζει η λύση της εξίσωσης x + 8 = 20 αν προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό και στα δύο μέλη; Εξηγείσε με λόγια.

Q8 – Μηδενικό αποτέλεσμα

Μπορείς να εξηγήσεις γιατί η εξίσωση 7x = 0 έχει πάντα λύση, ανεξάρτητα από το 7;

Q9 – Δυσκολότερη εκδοχή

Αν η εξίσωση 4x − 6 = 10 γίνει πιο «δύσκολη» αλλάζοντας μόνο έναν αριθμό, ποιον θα άλλαζες και γιατί;

Q10 – Καθημερινή κατάσταση

Περιέγραψε μια καθημερινή κατάσταση (π.χ. χρήματα, απόσταση, χρόνο) που μπορεί να γραφτεί ως εξίσωση α΄ βαθμού. Ποια θα ήταν η εξίσωση;

New Team Big Brains · Math Extension Pack · v1.0

Focus: κατανόηση δομής, όχι μόνο πράξεων.

Τί είναι οι ερωτήσεις επέκτασης και γιατί είναι χρήσιμες στα μαθηματικά και τη φυσική, παραδείγματα

 

🔍 Τι είναι οι ερωτήσεις επέκτασης

Είναι ερωτήσεις που πηγαίνουν πέρα από την αρχική άσκηση και ζητούν από τον μαθητή να:

• γενικεύσει,

• μετασχηματίσει,

• προβλέψει,

• συνδέσει,

• ελέγξει όρια και ακραίες περιπτώσεις,

• αναστοχαστεί πάνω στη λύση.

Δεν ζητούν απλώς «άλλη μια πράξη». Ζητούν άλλη μια σκέψη.

🧠 Γιατί είναι σημαντικές

Οι ερωτήσεις επέκτασης:

• ενισχύουν την κατανόηση της έννοιας, όχι της διαδικασίας,

• αποκαλύπτουν παρανοήσεις,

• βοηθούν τον μαθητή να δει μοτίβα,

• μετατρέπουν μια απλή άσκηση σε γνωστικό εργαλείο,

• καλλιεργούν δεξιότητες επίλυσης προβλήματος υψηλότερου επιπέδου.

📐 Σχέση με τα μαθηματικά

Στα μαθηματικά, οι ερωτήσεις επέκτασης συχνά:

• ζητούν γενίκευση (π.χ. «Τι συμβαίνει αν το $n$ είναι άρτιος αριθμός;»),

• εξετάζουν όρια («Τι γίνεται όταν το $x$ τείνει στο άπειρο;»),

• αλλάζουν συνθήκες («Αντί για τρίγωνο, τι θα ίσχυε για τετράπλευρο;»),

• ζητούν εναλλακτική λύση («Μπορείς να το λύσεις χωρίς εξισώσεις;»),

• συνδέουν δομές («Πώς σχετίζεται αυτό με τη γεωμετρική πρόοδο;»).

Οι μαθητές έτσι βλέπουν ότι τα μαθηματικά δεν είναι μόνο λογαριασμοί αλλά σχέσεις, μοτίβα και λογική.

⚛️ Σχέση με τη φυσική

Στη φυσική, οι ερωτήσεις επέκτασης:

• αλλάζουν παραμέτρους («Τι θα γινόταν αν διπλασιαζόταν η μάζα;»),

• εξετάζουν ακραίες περιπτώσεις («Τι συμβαίνει όταν η τριβή είναι μηδενική;»),

• ζητούν ποιοτική ερμηνεία («Πώς θα άλλαζε το διάγραμμα ταχύτητας–χρόνου;»),

• συνδέουν μοντέλα («Πώς σχετίζεται αυτό με τον 2ο νόμο του Νεύτωνα;»),

• απαιτούν μεταφορά γνώσης («Μπορείς να εφαρμόσεις την ίδια ιδέα σε ένα κύκλωμα;»).

Η φυσική ζει μέσα από τις παραλλαγές και τις υποθέσεις. Οι ερωτήσεις επέκτασης το αναδεικνύουν αυτό.

🎯 Παραδείγματα (για άμεση χρήση σε quiz ή διαγώνισμα)

Μαθηματικά – Εξίσωση

Βασική άσκηση: Λύσε την εξίσωση $2x+5=17$.

Ερωτήσεις επέκτασης:

• Αν ο συντελεστής του $x$ ήταν $k$, πώς θα άλλαζε η λύση;

• Ποια τιμή του $k$ κάνει την εξίσωση αδύνατη;

• Μπορείς να βρεις μια γεωμετρική ερμηνεία της λύσης;

Φυσική – Κίνηση

Βασική άσκηση: Ένα σώμα κινείται με σταθερή επιτάχυνση $a=2{\text{m/s}}^2$.

Ερωτήσεις επέκτασης:

• Τι θα συμβεί στη γραφική παράσταση $v(t)$ αν η επιτάχυνση γίνει αρνητική;

• Ποια φυσική κατάσταση αντιστοιχεί στο $a=0$;

• Αν το σώμα ξεκινούσε με αρχική ταχύτητα, πώς αλλάζει η εξίσωση;

Σπαζοκεφαλιά: Υπολόγισε τον όγκο της δεξαμενής

💧 Γρίφος Δεξαμενής

Ερώτηση: Μια δεξαμενή ήταν γεμάτη κατά τα 4/5. Αφού αφαιρέθηκαν 190 λίτρα, έμεινε γεμάτη κατά το 1/6. Ποια είναι η χωρητικότητα της δεξαμενής;

✅ Απάντηση: 300 Λίτρα

Λύση με εξίσωση:

(4/5)X - 190 = (1/6)X
(24/30)X - (5/30)X = 190
(19/30)X = 190
X = 190 * (30/19)
X = 300

Μοιράσου το γρίφο:

ρθογώνιο Τρίγωνο με Κάθετη Προβολή – Υπολογισμός του CD

Γεωμετρικό Πρόβλημα – New Team Big Brains

Στο σχήμα φαίνεται τετράπλευρο ABCD. Το τρίγωνο ABC είναι ορθογώνιο με ορθή γωνία στο C. Δίνονται: AB = 5, AC = 3, BD = 7. Το BC είναι κάθετο στο AD. Να βρείτε το μήκος του CD.