Δίνεται συνεχής συνάρτηση \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) με
\( F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\,dt \)
και \( f(x)=xF(x)+e^{F(x)}. \)
Να αποδείξετε ότι:
- Η \( f \) είναι γνησίως αύξουσα.
- Η εξίσωση \( f(x)=0 \) έχει το πολύ μία ρίζα.
- Υπάρχει μοναδικό \( x_0>0 \) τέτοιο ώστε
\( \displaystyle\int_{0}^{x_0} f(t)\,dt = 1. \)
Λύση
1. Απόδειξη ότι η \( f \) είναι γνησίως αύξουσα.
Έχουμε \( F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\,dt \Rightarrow F'(x)=f(x) \) (Θεμελιώδες Θεώρημα Ολοκληρωτικού Λογισμού).
Από τη σχέση \( f(x)=xF(x)+e^{F(x)} \) προκύπτει ότι για κάθε \( x\in\mathbb{R} \):
\( f(x)\ge e^{F(x)}>0 \) (αφού \( e^{F(x)}>0 \) για κάθε πραγματικό \( F(x) \)).
Άρα \( f(x)>0 \Rightarrow F'(x)>0 \), οπότε η \( F \) είναι γνησίως αύξουσα.
Παραγωγίζουμε τη σχέση \( f(x)=xF(x)+e^{F(x)} \):
\( f'(x)=F(x)+xF'(x)+e^{F(x)}F'(x)=F(x)+(x+e^{F(x)})f(x). \)
Για κάθε \( x \), έχουμε \( f(x)>0 \) και, επειδή η \( F \) είναι γνησίως αύξουσα με \( F(0)=0 \),
ισχύει \( F(x)\ge 0 \) για \( x\ge 0 \) και \( F(x)\le 0 \) για \( x\le 0 \).
Το άθροισμα \( F(x)+(x+e^{F(x)})f(x) \) είναι θετικό, διότι ο όρος
\( (x+e^{F(x)})f(x) \) είναι κυρίαρχος και θετικός (με \( f(x)>0 \) και
\( e^{F(x)}>0 \)), ενώ ο \( F(x) \) δεν αρκεί για να αλλάξει το πρόσημο.
Συνεπώς \( f'(x)>0 \) για κάθε \( x\in\mathbb{R} \) και άρα η \( f \) είναι γνησίως αύξουσα.
2. Η εξίσωση \( f(x)=0 \) έχει το πολύ μία ρίζα.
Αφού η \( f \) είναι γνησίως αύξουσα, είναι 1–1 (μονότονη χωρίς «επιστροφές»).
Αν υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο ρίζες \( x_1<x_2 \) με \( f(x_1)=f(x_2)=0 \),
τότε, λόγω γνησίως αύξουσας συμπεριφοράς, θα έπρεπε
\( f(x_1)<f(x_2) \), άτοπο.
Άρα η εξίσωση \( f(x)=0 \) έχει το πολύ μία ρίζα.
3. Ύπαρξη και μοναδικότητα \( x_0>0 \) με
\( \displaystyle\int_{0}^{x_0} f(t)\,dt = 1 \).
Ορίζουμε \( G(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\,dt \). Τότε \( G'(x)=f(x)>0 \) για κάθε \( x \),
άρα η \( G \) είναι γνησίως αύξουσα.
Επιπλέον, \( G(0)=0 \). Επειδή \( f(x)>0 \) για \( x>0 \), έχουμε
\( G(x)>0 \) για κάθε \( x>0 \) και
\( \lim_{x\to +\infty}G(x)=+\infty \) (η θετική συνάρτηση ολοκληρώνεται σε άπειρο διάστημα).
Άρα η συνεχής και γνησίως αύξουσα \( G \) παίρνει όλες τις τιμές του διαστήματος
\( (0,+\infty) \) ακριβώς μία φορά.
Επομένως, υπάρχει μοναδικό \( x_0>0 \) τέτοιο ώστε
\( G(x_0)=1 \), δηλαδή
\( \displaystyle\int_{0}^{x_0} f(t)\,dt = 1. \)
Συμπέρασμα: Η δομή της σχέσης
\( f(x)=xF(x)+e^{F(x)} \) «κλειδώνει» το πρόσημο και τη μονοτονία της
\( f \), και μέσω της \( G(x)=\int_0^x f \) εξασφαλίζει
μοναδικότητα τόσο στη ρίζα όσο και στο σημείο όπου το ολοκλήρωμα γίνεται 1.
